Kurs:Analysis II/Kapitel VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen/Differenzierbare Abhängigkeit von den Anfangswerten (§6)

Voraussetzung (c):

Seien die stetigen Funktionen

$f_{i}=f_{i}(x,y_{1},\ldots ,y_{m}):R\to \mathbb {R} \in C^{0}(R)$ mit $|f_{i}|\leq M$ in $R$

für $i=1,\ldots ,m$ auf dem Rechteck $R$ gegeben. Deren folgende partielle Ableitungen

${\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{k}}}\in C^{0}(R)$ für $i,k=1,\ldots ,m$

existieren und dort stetig sind.

Bemerkung

Die Menge $R$ ist kompakt und konvex und somit liefert der Mittelwertsatz der Differentialrechnung eine Lipschitzbedingung gemäß Voraussetzung (b) mit

$L:=\sup \left\{\left|{\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{k}}}(x,y)\right|:(x,y)\in R{\text{ und }}i,k=1,\ldots ,m\right\}\in [0,+\infty )$

als Lipschitzkonstante.

Wir wählen nun die Anfangswerte

(1) ${\begin{matrix}\eta =(\eta _{1},\ldots ,\eta _{m}){\text{ und zu festem Index }}j\in \{1,\ldots ,m\}\\{\overline {\eta }}=({\overline {\eta }}_{1},\ldots ,{\overline {\eta }}_{m}):=(\eta _{1},\ldots ,\eta _{j}+\lambda ,\ldots ,\eta _{m})={\Bigl (}\eta _{k}+\lambda \cdot \delta _{kj}{\Bigr )}_{k=1,\ldots ,m}\\{\text{mit dem Parameter }}\lambda \in [-\varepsilon ,0)\cup (0,\varepsilon ]\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ ein\ gegebenes} \ \varepsilon >0.\end{matrix}}$

Wir betrachten die zugehörigen Lösungen (2) und (3) der Anfangswertprobleme aus §5 und wir untersuchen die Differenzenquotienten

(2) ${\begin{matrix}z_{ij}(x,\lambda ):={\frac {{\overline {y}}_{i}(x)-y_{i}(x)}{\lambda }},\quad x\in [\xi -h,\xi +h]\\\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ \lambda \in [-\varepsilon ,0)\cup (0,\varepsilon ]{\text{ und }}i,j=1,\ldots ,m.\end{matrix}}$

Wir verwenden die äquivalenten Integralgleichungssysteme (4) sowie (5) aus §5 und wir erhalten die folgende Integralgleichung für die Differenzenquotienten

(3) ${\begin{matrix}z_{ij}(x,\lambda )={\frac {{\overline {y}}_{i}(x)-y_{i}(x)}{\lambda }}\\=\delta _{ij}+\int _{\xi }^{x}{\frac {1}{\lambda }}\{f_{i}(t,{\overline {y}}_{1}(t),\ldots ,{\overline {y}}_{m}(t))-f_{i}(t,y_{1}(t),\ldots ,y_{m}(t))\}\,dt\\=\delta _{ij}+\int _{\xi }^{x}\left\{\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{k}}}{\Bigl (}t,y(t)+\tau _{i}(t)({\overline {y}}(t)-y(t)){\Bigr )}z_{kj}(t,\lambda )\right\}\,dt\\=\delta _{ij}+\int _{\xi }^{x}\left\{\sum \limits _{k=1}^{m}p_{ik}(t,\lambda )\cdot z_{kj}(t,\lambda )\right\}\,dt\\\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x\in [\xi -h,\xi +h],\lambda \in [-\varepsilon ,0)\cup (0,\varepsilon ]{\text{ und }}i,j=1,\ldots ,m.\end{matrix}}$

Hierbei erfüllen die Zwischenwerte die Bedingung $\tau _{i}(t)\in (0,1)$ für $i=1,\ldots ,m$. Die Koeffizienten

(4) $p_{ik}(x,\lambda ):={\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{k}}}{\Bigl (}x,y(x)+\tau _{i}(x)({\overline {y}}(x)-y(x)){\Bigr )},x\in [\xi -h,\xi +h],\lambda \in [-\varepsilon ,0)\cup (0,\varepsilon ]$

besitzen den Grenzwert

(5) $\lim _{\lambda \to 0,\lambda \neq 0}p_{ik}(x,\lambda )={\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{k}}}{\Bigl (}x,y(x){\Bigr )},\quad x\in [\xi -h,\xi +h]$

für $i,k=1,\ldots ,m$. Wir haben also das lineare, parameterabhängige System

(6) ${\begin{matrix}z_{ij}(x,\lambda )=\delta _{ij}+\int _{\xi }^{x}\left\{\sum \limits _{k=1}^{m}p_{ik}(t,\lambda )\cdot z_{kj}(t,\lambda )\right\}\,dt\\\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x\in [\xi -h,\xi +h],\lambda \in [-\varepsilon ,0)\cup (0,\varepsilon ]{\text{ und }}i,j=1,\ldots ,m\end{matrix}}$

mit den Koeffizientenfunktionen (4) unter der asymptotischen Bedingung (5) zu studieren.

Zunächst zeigen wir, dass die Lösungen der Integralgleichung (6) gleichmäßig beschränkt sind. Hierzu formen wir diese um in die Gestalt

(7) ${\begin{matrix}z_{ij}(x,\lambda )-\delta _{ij}=\int _{\xi }^{x}\left\{\sum \limits _{k=1}^{m}p_{ik}(t,\lambda )\cdot {\Bigl (}z_{kj}(t,\lambda )-\delta _{kj}{\Bigr )}+p_{ij}(t,\lambda )\right\}\,dt\\\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x\in [\xi -h,\xi +h],\lambda \in [-\varepsilon ,0)\cup (0,\varepsilon ]{\text{ und }}i,j=1,\ldots ,m.\end{matrix}}$

Dann betrachten wir für $j=1,\ldots ,m$ die Hilfsfunktion

(8) $\Psi _{j}(x):=\sum _{i=1}^{m}|z_{ij}(t,\lambda )-\delta _{ij}|,x\in [\xi -h,\xi +h],\lambda \in [-\varepsilon ,0)\cup (0,\varepsilon ]$

und entnehmen (7) die folgenden Integralungleichungen:

(9) $\Psi _{j}(x)\leq (m\cdot L)\int _{\xi }^{x}\{\Phi _{j}(t)+1\}\,|dt|$ für alle $x\in [\xi -h,\xi +h]$.

Das Gronwallsche Lemma impliziert die Abschätzung

(10) $\Psi _{j}(x)\leq e^{mL|x-\xi |}-1$ für alle $x\in [\xi -h,\xi +h]$ und $j=1,\ldots ,m$.

Somit sind die Lösungen von (6) gleichmäßig beschränkt.

Wir vergleichen jetzt die Lösungen von (6) zu zwei verschiedenen Parametern $\lambda ,\mu \in [-\varepsilon ,0)\cup (0,\varepsilon ]$ und erhalten für $i,j=1,\ldots ,m$ die Identität

(11) ${\begin{matrix}z_{ij}(x,\lambda )-z_{ij}(x,\mu )=\int _{\xi }^{x}\left\{\sum \limits _{k=1}^{m}p_{ik}(t,\lambda )\cdot {\Bigl (}z_{kj}(t,\lambda )-z_{kj}(t,\mu ){\Bigr )}\right.\\\left.+\sum \limits _{k=1}^{m}{\Bigl (}p_{ik}(t,\lambda )-p_{ik}(t,\mu ){\Bigr )}\cdot z_{kj}(t,\mu )\right\}\,dt,\quad x\in [\xi -h,\xi +h].\end{matrix}}$

Nun genügen für $j=1,\ldots ,m$ die Funktionen

(12) $\Phi _{j}(x):=\sum _{i=1}^{m}|z_{ij}(t,\lambda )-z_{ij}(t,\mu )|,\quad x\in [\xi -h,\xi +h]$

wegen (11) Integralungleichungen der Form

(13) $\Phi _{j}(x)\leq (m\cdot L)\int _{\xi }^{x}\{\Phi _{j}(t)+\varepsilon (\lambda ,\mu )\}\,|dt|,\quad x\in [\xi -h,\xi +h]$.

Nach (10) sind nämlich die Funktionen $z_{kj}(t,\mu )$ gleichmäßig beschränkt und zusammen mit der asymptotischen Bedingung (5) erhalten wir

(14) $\lim _{\lambda ,\mu \to 0}\varepsilon (\lambda ,\mu )=0$.

Wenden wir nun das Gronwallsche Lemma auf die Ungleichung (13) an, so existieren für $i,j=1,\ldots ,m$ die Limites

(15) $\lim _{\lambda \to 0,\lambda \neq 0}z_{ij}(x,\lambda )={\frac {\partial y_{i}(x,\eta )}{\partial \eta _{j}}}=:y_{ij}(x,\eta ),\quad x\in [\xi -h,\xi +h]$.

Hierbei fassen wir $y=y(x,\eta )$ als Funktion ihrer Anfangswerte auf. Wir erklären nun die Matrix

(16) $Q(x,\eta )={\Bigl (}q_{ik}(x,\eta ){\Bigr )}_{i,k=1,\ldots ,m}:=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{k}}}(x,y(x,\eta ))\right)_{i,k=1,\ldots ,m}$.

Dann erhalten wir beim Grenzübergang $\lambda \to 0$ in (6) das folgende Integralgleichungssystem

(17) $y_{ij}(x,\eta )=\delta _{ij}+\int _{\xi }^{x}\left\{\sum _{k=1}^{m}q_{ik}(t,\eta )\cdot y_{kj}\right\}\,dt$ für $x\in [\xi -h,\xi +h]$ und $i,j=1,\ldots ,m$,

worin der Anfangswert $\eta$ als Parameter auftritt. Da nach Satz 2 aus §5 die Lösung $y(x,\eta )$ bereits stetig von den Anfangswerten $\eta$ abhängt, sind die Koeffizienten $Q=Q(x,\eta )$ in (16) und (17) stetig von diesen Daten abhängig. Wie wir oben für den Differenzenquotienten gezeigt haben, so beweisen wir genauso für die Funktionen $y_{ij}(x,\eta )$ als Lösungen der Integralgleichung (17) mit dem Gronwallschen Lemma, dass sie gleichmäßig beschränkt auf ihrem Definitionsintervall sind und stetig von den Anfangswerten abhängen.

Satz 1 (Differenzierbare Abhängigkeit von den Anfangswerten)

Unter der Voraussetzung (c) hängt die Lösung $y(x,\eta )$ des Differentialgleichungssystems (2) aus §5 einmal stetig differenzierbar von den Anfangswerten $\eta$ ab.

Voraussetzung (d):

Seien die stetigen Funktionen

$f_{i}=f_{i}(x,y_{1},\ldots ,y_{m}):R\to \mathbb {R} \in C^{0}(R)$ mit $|f_{i}|\leq M$ in $R$

für $i=1,\ldots ,m$ auf dem Rechteck $R$ gegeben. Deren folgende zweite partielle Ableitungen

${\frac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial y_{k}\partial y_{l}}}\in C^{0}(R)$ für $i,k,l=1,\ldots ,m$

existieren und sind dort stetig.

Wir vergleichen jetzt die Lösung des Systems (17) zum Parameter $\eta$ mit derjenigen zum verschobenen Parametervektor

(18) ${\overline {\eta }}:=(\eta _{i}+\lambda \cdot \delta _{il})_{i=1,\ldots ,m}$ und $\lambda \in [-\varepsilon ,0)\cup (0,\varepsilon ]$

für ein beliebiges $l\in \{1,\ldots ,m\}$. Dann definieren wir – parallel zu (2) – für $i,j,l=1,\ldots ,m$ die Differenzenquotienten

(19) $z_{ijl}(x,\lambda ):={\frac {y_{ij}(x,{\overline {\eta }})-y_{ij}(x,\eta )}{\lambda }},\quad x\in [\xi -h,\xi +h]$ mit $\lambda \in [-\varepsilon ,0)\cup (0,\varepsilon ]$.

Aus (17) erhalten wir für $i,j,l=1,\ldots ,m$ die Integralgleichungen

(20) ${\begin{matrix}z_{ijl}(x,\lambda )=\int _{\xi }^{x}\left\{\sum \limits _{k=1}^{m}q_{ik}(t,\eta )\cdot z_{ijl}(x,\lambda )+\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {q_{ik}(t,{\overline {\eta }})-q_{ik}(t,\eta )}{\lambda }}\cdot y_{kj}(t,{\overline {\eta }})\right\}\,dt,\\x\in [\xi -h,\xi +h]\end{matrix}}$

mit dem Parameter $\lambda \in [-\varepsilon ,0)\cup (0,\varepsilon ]$. Wegen der Voraussetzung (d) und der Setzung (16) können wir die in (20) auftretenden Differenzenquotienten über die Kettenregel mit gewissen Zwischenwerten $\tau _{ik}(x)\in (0,1)$ wie folgt angeben:

(21) ${\begin{matrix}{\frac {q_{ik}(x,{\overline {\eta }})-q_{ik}(x,\eta )}{\lambda }}={\frac {1}{\lambda }}\cdot \left({\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{k}}}(x,y(x,{\overline {\eta }}))-{\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{k}}}(x,y(x,\eta ))\right)\\=\sum \limits _{n=1}^{m}{\frac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial y_{k}\partial y_{n}}}(x,y(x,\eta )+\tau _{ik}(x)\cdot [y(x,{\overline {\eta }})-y(x,\eta )])\cdot z_{nl}(x,\lambda ),\\x\in [\xi -h,\xi +h].\end{matrix}}$

Somit sind diese Differenzenquotienten beschränkt auf ihrem Definitionsintervall und wir berechnen für alle $x\in [\xi -h,\xi +h]$ ihre Grenzwerte

(22) $\lim _{\lambda \to 0,\lambda \neq 0}{\frac {q_{ik}(x,{\overline {\eta }})-q_{ik}(x,\eta )}{\lambda }}=\sum \limits _{n=1}^{m}{\frac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial y_{k}\partial y_{n}}}(x,y(x,\eta ))\cdot y_{nl}(x,\eta )$.

Wir definieren nun für $i,j,l=1,\ldots ,m$ die beschränkten Funktionen

(23) $r_{ijl}(x,\lambda ):=\sum _{k=1}^{m}{\frac {q_{ik}(x,{\overline {\eta }})-q_{ik}(x,\eta )}{\lambda }}\cdot y_{kj}(x,{\overline {\eta }}),\quad x\in [\xi -h,\xi +h]$

und die Integralgleichungen (20) verwandeln sich in

(24) $z_{ijl}(x,\lambda )=\int _{\xi }^{x}\left\{\sum _{k=1}^{m}q_{ik}(t,\eta )\cdot z_{kjl}(t,\lambda )+r_{ijl}(t,\lambda )\right\}\,dt,\quad x\in [\xi -h,\xi +h]$

Wie oben sehen wir mit dem Gronwallschen Lemma leicht ein, dass die Lösungen der Integralgleichungen (24) gleichmäßig beschränkt sind und für $i,j,l=1,\ldots ,m$ die folgenden Grenzwerte existieren:

(25) $\lim _{\lambda \to 0,\lambda \neq 0}z_{ijl}(x,\lambda )={\frac {\partial y_{i}(x,\eta )}{\partial \eta _{j}\partial \eta _{l}}}=:y_{ijl}(x,\eta ),\quad x\in [\xi -h,\xi +h]$.

Wir können jetzt in den Integralgleichungen (24) mit Hilfe von (22) sowie (23) den Grenzübergang $\lambda \to 0$ vollziehen. Mit $i,j,l=1,\ldots ,m$ erhalten wir die Integralgleichungen des Tensors der zweiten Ableitungen

(26) ${\begin{matrix}y_{ijl}(x,\eta )=\int _{\xi }^{x}\left\{\sum \limits _{k=1}^{m}q_{ik}(t,\eta )\cdot y_{kjl}(t,\eta )+s_{ijl}(t,\eta )\right\}\,dt\\\mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ x\in [\xi -h,\xi +h]{\text{ mit den Funktionen}}\\s_{ijl}(x,\eta )=\sum \limits _{k,n=1}^{m}{\frac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial y_{k}\partial y_{n}}}{\Bigl (}x,y(x,\eta ){\Bigr )}\cdot y_{nl}(x,\eta )y_{kj}(x,\eta ).\end{matrix}}$

Wir haben in (26) ein inhomogenes, lineares System mit 0 Anfangsbedingungen vor uns, worin die rechte Seite stetig vom Parameter $\eta$ abhängt. Wir ziehen die Integralgleichungen für einen festen Anfangswert ${\stackrel {\circ }{\eta }}$ ab von derjenigen für einen benachbarten Anfangswert $\eta$ und erhalten

(27) ${\begin{matrix}y_{ijl}(x,\eta )-y_{ijl}(x,{\stackrel {\circ }{\eta }})=\int _{\xi }^{x}\left\{\sum \limits _{k=1}^{m}q_{ik}(t,\eta )\cdot \left(y_{kjl}(t,\eta )-y_{kjl}(t,{\stackrel {\circ }{\eta }})\right)\right\}\,dt\\+\int _{\xi }^{x}\left\{\sum \limits _{k=1}^{m}\left(q_{ik}(t,\eta )-q_{ik}(t,{\stackrel {\circ }{\eta }})\right)\cdot y_{kjl}(t,{\stackrel {\circ }{\eta }})+\left(s_{ijl}(t,\eta )-s_{ijl}(t,{\stackrel {\circ }{\eta }})\right)\right\}\,dt\\\mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ x\in [\xi -h,\xi +h].\end{matrix}}$

Für $j,l=1,\ldots ,m$ betrachten wir die Hilfsfunktion

(28) $\Theta _{jl}(x):=\sum _{k=1}^{m}\left|y_{kjl}(t,\eta )-y_{kjl}(t,{\stackrel {\circ }{\eta }})\right|,\quad x\in [\xi -h,\xi +h]$.

Dann leiten wir aus (27) eine Differentialungleichung der Form

(29) $\Theta _{jl}(x)\leq A\cdot \int _{\xi }^{x}\left\{\Theta _{jl}(t)+\varepsilon (\eta ,{\stackrel {\circ }{\eta }})\right\}\,dt,\quad x\in [\xi -h,\xi +h]$

her; dabei ist $A\in [0,+\infty )$ eine Konstante und die Größe $\varepsilon (\eta ,{\stackrel {\circ }{\eta }})\in [0,+\infty )$ besitzt die asymptotische Eigenschaft $\varepsilon (\eta ,{\stackrel {\circ }{\eta }})\to 0$ für $\eta \to {\stackrel {\circ }{\eta }}$. Mit dem Gronwallschen Lemma zeigen wir nun, dass $\Theta _{jl}\to 0$ gleichmäßig auf dem Intervall $[\xi -h,\xi +h]$ für $\eta \to {\stackrel {\circ }{\eta }}$ erfüllt ist. Somit ist der Tensor der zweiten Ableitungen $\{y_{ijl}(x,\eta )\}_{i,j,l=1,\ldots ,m}$ stetig von den Anfangswerten $\eta$ abhängig.

Satz 2 ($C^{2}$-Abhängigkeit von den Anfangswerten)

Unter der Voraussetzung (d) hängt die Lösung $y(x,\eta )$ des Differentialgleichungssystems (2) aus §5 zweimal stetig differenzierbar von den Anfangswerten $\eta$ ab.

Satz 3 (Existenz des integrierenden Faktors)

Auf der Umgebung ${\mathcal {U}}\subset \mathbb {R} ^{2}$ des Punktes $(x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{2}$ schreiben wir die Funktionen $p=p(x,y)$ und $q=q(x,y)$ der Klasse $C^{2}({\mathcal {U}})$ mit der Eigenschaft

$p(x,y)^{2}+q(x,y)^{2}>0,\quad (x,y)\in {\mathcal {U}}$

vor. Dann gibt es eine Umgebung ${\mathcal {V}}\subset {\mathcal {U}}$ von $(x_{0},y_{0})$ und Funktionen

$F=F(x,y)\in C^{2}({\mathcal {V}})$

sowie

$M=M(x,y):{\mathcal {V}}\to \mathbb {R} \setminus \{0\}\in C^{1}({\mathcal {V}})$,

so dass folgendes gilt:

(30) $F_{x}(x,y)=M(x,y)\cdot p(x,y)$ und $F_{y}(x,y)=M(x,y)\cdot q(x,y)$ in ${\mathcal {V}}$.

Wir erhalten also mit $M$ einen Eulerschen Multiplikator der regulären, ebenen Differentialgleichung

$p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy=0$ in ${\mathcal {V}}$.

Beweis

Wir können ohne Einschränkung $q(x,y)\neq 0$ in ${\mathcal {V}}$ annehmen. Dann transformieren wir

$p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy=0,\quad (x,y)\in {\mathcal {V}}$

in die explizite Differentialgleichung

(31) $y'(x)={\frac {dy}{dx}}=-{\frac {p(x,y)}{q(x,y)}}=:f(x,y)$.

Nun gehören $p,q,f$ zur Klasse $C^{2}$ und $f$ erfüllt insbesondere eine Lipschitzbedingung. Für ein hinreichen klein gewähltes $\varepsilon >0$ lösen wir für alle Parameter $|v|<\varepsilon$ das parameterabhängige Anfangswertproblem

(32) $y(u)=y(u;v)$ mit $y'(u)=f(x_{0}+u,y(u)),\quad u\in (-\varepsilon ,+\varepsilon ),\quad y(0)=y_{0}+v$.

Auf dem Rechteck

${\mathcal {R}}:=\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{2}:|u|<\varepsilon ,|v|<\varepsilon \}$

betrachten wir die Transformation

(33) $x(u,v):=u+x_{0},\quad y(u,v):=y(u;v):{\mathcal {R}}\to {\mathcal {V}}$.

Wegen der Eigenschaft $f\in C^{2}$ gehört sie zur Klasse $C^{2}$ und erfüllt die Bedingung

(34) ${\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}(0,0)=x_{u}(0,0)\cdot y_{v}(0,0)-x_{v}(0,0)\cdot y_{u}(0,0)=1\cdot 1-y_{u}(0,0)\cdot 0=1$.

Nach dem Fundamentalsatz über die inverse Abbildung existiert die Umkehrabbildung auf einer gewissen Umgebung ${\mathcal {V}}$ von $(x_{0},y_{0})$, nämlich

$u=u(x,y),\quad v=v(x,y):{\mathcal {V}}\to {\mathcal {R}}\in C^{2}$.

Wir setzen

(35) $F(x,y):=v(x,y):{\mathcal {V}}\to \mathbb {R} \in C^{2}({\mathcal {V}})$ mit $\nabla F\neq 0,\quad (x,y)\in {\mathcal {V}}$.

Nach Konstruktion ist klar, dass die Niveaulinien $F=const$ die Differentialgleichung $p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy=0$ lösen. Da $\nabla F$ senkrecht auf den Niveaulinien steht, folgt die Identität

(36) $\nabla F(x,y)=M(x,y)\cdot {\Bigl (}p(x,y),q(x,y){\Bigr )}$ in ${\mathcal {V}}$

mit einer Funktion

$M:{\mathcal {V}}\to \mathbb {R} \setminus \{0\}\in C^{1}({\mathcal {V}})$

q.e.d.