Sei eine beschränkte, offene Menge mit dem topologischen Rand . Zu jedem gebe es eine Punktfolge
für die für richtig ist, d. h. jeder Randpunkt ist 'von außen erreichbar'.
Seien als Parameterbereiche die beschränkten Gebiete gewählt. Es gebe reguläre Hyperflächen im
wobei injektiv sei und für alle und alle der Rang der Funktionalmatrix erfülle. Weiter gelte für die Flächeninhalte
Für setzen wir
Der Rand von sei Vereinigung dieser endlich vielen Hyperflächenstücke , d. h.
Weiter gelte
für alle
mit
;
zwei verschiedene Flächen haben also höchstens Randpunkte gemeinsam.
- Die Menge genüge den Voraussetzungen (A) und (B). Wir setzen dann
- als regulären Rand von . Weiter sei eine stetige, beschränkte Funktion auf . Wir erklären durch
- das Oberflächenintegral von über den regulären Rand .
Die Funktion gehöre zur Regularitätsklasse und es gelte
Die Menge habe den -dimensionalen Hausdorffschen Inhalt Null bzw. sie sei eine -dimensionale Hausdorffsche Nullmenge. Genauer gibt es zu jedem endlich viele Hyperkugeln
mit und , so dass folgendes gilt:
- (Überdeckungseigenschaft)
- (Kleinheit der Gesamtoberfläche).
Satz 1 (Gaußscher Integralsatz)
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- Sei eine beschränkte, offene Menge, die den Voraussetzungen (A), (B) und (D) genügt. Weiter erfülle die Vektorfunktion die Voraussetzung (C). Dann gilt die Identität
1. Wir fassen als -dimensionale Mannigfaltigkeit im auf mit dem Atlas . Nun gibt es für jeden Punkt
einen Quader , so dass gilt
Auf dem Halbwürfel
mit der oberen begrenzenden Seite in -Richtung
betrachten wir die Transformation
mit . Wählen wir die Vorzeichen geeignet, so erreichen wir
und
für die Funktionaldeterminante von . Somit ist verträglich mit der obigen Karte und wir statten mit dem induzierten Atlas aus. Wegen zeigt die durch orientierte Normale an ein Flächenstück in Richtung der äußeren Normalen an .
Wir betrachten nun die -Form
Wegen obiger Überlegungen sehen wir
ein.
2. Wegen Voraussetzung (D) gibt es zu jedem endlich viele Kugeln
mit
und
.
Wir zeigen nun, dass die Kapazität des singulären Randes Null ist. Hierzu konstruieren wir zunächst eine Funktion mit
und
Für betrachten wir die Funktion
mit und
.
Ist das Volumen der -dimensionalen Einheitskugel, so berechnen wir
mit . Wir erhalten eine Funktion
mit
Somit hat die Kapazität Null.
3. Der Stokessche Integralsatz für Mannigfaltigkeiten liefert schließlich
was der Behauptung entspricht.
q.e.d.
Satz 2 (Greensche Formel)
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- Sei eine offene, beschränkte Menge im , die den Voraussetzungen (A), (B) und (D) genügt. Weiter seien die Funktionen und der Klasse mit
- gegeben, wobei den Laplace-Operator gemäß
- bedeutet. Dann gilt
- mit den Bezeichnungen
Wir wenden den Gaußschen Integralsatz auf das Vektorfeld
an. Es folgt
und wir erhalten schließlich
woraus die Behauptung folgt.
q.e.d.
Satz 3 (Oszillationslemma von Courant-Lebesgue)
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- Sei
- die offene Einheitskreisscheibe. Weiter sei
- eine vektorwertige Funktion mit endlichem Dirichletschen Integral , d. h. es gilt
- Dann gibt es zu jedem Punkt und jedem eine Zahl , so dass die Ungleichung
- für die Länge der Kurve erfüllt ist.
Wir führen um den Punkt Polarkoordinaten ein, d. h.
Weiter definieren wir die Funktion
und berechnen
sowie
Unter Verwendung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung erhalten wir
für ein . Schließlich folgt mit
die Behauptung.
q.e.d.
Satz 4 (Der klassische Stokessche Integralsatz mit singulärem Rand)
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- 1. Auf dem Rand der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe seien Punkte mit gegeben. Nehmen wir die Punkte aus den Mengen und heraus, erhalten wir die Mengen bzw. .
- 2. Weiter sei die injektive Abbildung
- mit für alle und endlichem Dirichletintegral gegeben. Bezeichnen wir mit
- die Einschränkung von auf , so erhalten wir das Linienelement
- Wir fordern, dass die Kurve endliche Länge hat, d. h. es gelte
- wobei gesetzt wurde.
- 3. Wir bezeichnen mit
- den Einheitsnormalenvektor und mit
- das Oberflächenelement der Fläche . Für den Tangentialvektor an die Randkurve schreiben wir
- 4. Sei eine offene Menge im und sei das Vektorfeld
- mit
- gegeben.
- Dann gilt die Stokessche Identität
1. Wir wollen den Stokesschen Integralsatz für Mannigfaltigkeiten anwenden. Die Menge ist eine beschränkte, orientierte, 2-dimensionale -Mannigfaltigkeit im mit der Karte . Der reguläre Rand erhält durch die Abbildung eine Orientierung und hat wegen endliche Länge. Wir zeigen zunächst, dass der singuläre Rand die Kapazität Null hat.
2. Sei ein singulärer Punkt der Fläche, so führen wir in der Umgebung von Polarkoordinaten ein:
Zu vorgegebenem gibt es nach dem Courant-Lebesgueschen Oszillationslemma ein mit folgender Eigenschaft: Sei , So gilt für mindestens ein die Ungleichung
Folglich gibt es Zahlen mit der Eigenschaft
für alle
.
Wir betrachten nun die schwach monoton steigende Glättungsfunktion
mit
.
In einer Umgebung der Fläche konstruieren wir nun eine Funktion
mit
Es folgt
Wir schließen
für alle . Wir sehen so, dass der Randpunkt die Kapazität Null hat. Folglich haben die endlich vielen Randpunkte die Kapazität Null.
3. Wir betrachten nun die Pfaffsche Form
welche
erfüllt. Satz 1 aus §4 liefert mit
die Behauptung.
q.e.d.