- Es sei die Menge aller Funktionen , die schwach monoton steigend aus approximiert werden können, d. h. zu gibt es eine Folge aus mit der Eigenschaft
für und für alle .
- Für setzen wir dann
- womit gilt.
- Wir setzen
- und definieren
für alle .
- Für eine beliebige Funktion setzen wir
- Wir nennen das obere und das untere Daniellsche Integral von .
- Eine Funktion gehört zur Klasse genau dann, wenn
- gilt. Wir setzen dann
- und sagen, ist Lebesgue-integrierbar (bezüglich ).
Satz 1 (Rechenregeln für Lebesgue-integrierbare Funktionen)
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- Für die Menge der Lebesgue-integrierbaren Funktionen gelten folgende Aussagen:
- a) Es ist
für jedes mit
- richtig und die in den Definitionen 1 und 4 erklärten Integrale stimmen überein. Somit ist auf fortgesetzt. Weiter gilt
für alle mit .
- b) Der Raum ist linear, d. h. es gilt
für alle und .
- Ferner ist ein lineares Funktional. Es ist also
für alle
- erfüllt.
- c) Mit ist auch und es gilt .
a) Sei mit . Dann gibt es eine Folge mit . Setzen wir und für alle , so gelten mit sowie . Es gilt somit und nach Definition 4 gilt
Ist , so ist mit offensichtlich erfüllt.
b) Wir zeigen zunächst: Ist , so gelten sowie .
Sei , so gibt es zu jedem Funktionen und mit und . Daraus lassen sich sowie ablesen und mit bzw. erhalten wir
für alle
,
somit also und .
Wir zeigen nun: Mit und gelten sowie .
Seien also , so gibt es zu jedem Funktionen und mit und , woraus und schließlich auch
folgen. Es gelten also sowie .
Schließlich zeigen wir noch: Aus folgen und .
Für gibt es zu jedem Funktionen und mit und . Daraus folgen sofort und
Also ist und es gilt .
Insgesamt erhalten wir also, dass ein lineares Funktional auf dem linearen Raum ist.
c) Sei , so gibt es zu jedem Funktionen und mit sowie und somit . Weiter gibt es Folgen und in , woraus wir und erhalten. Somit sind und . Wegen folgt und es gilt
Wir haben also und . Nun gehören mit auch und zu und mit und folgen bzw. .
q.e.d.
Satz 2 (Satz über monotone Konvergenz von B. Levi)
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- Sei eine Folge mit
für alle und alle .
- Weiter seien
und
- mit einem richtig. Dann gelten und
Wegen ist das Assoziativgesetz für die Addition gültig. Setzen wir
so folgen und
Nun ergibt sich
für alle
.
Dann folgt
sowie
Somit folgt und es gilt
q.e.d.
Satz 3 (Konvergenzsatz von Fatou)
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- Sei eine Folge von Funktionen mit
für alle und alle .
- Ferner sei
- Dann gehört die Funktion zu und es gilt
Wir beachten
mit
Definieren wir
so gelten sowie für . Weiter erhalten wir wegen . Nach Satz 2 folgen und somit auch für alle .
Weiter gilt für alle und deshalb ist
für alle richtig. Wegen und mit Hilfe von Satz 2 erhalten wir sowie
Satz 4 (Satz über majorisierte Konvergenz von H. Lebesgue)
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- Sei eine Folge mit
für .
- Weiter gelten
- wobei richtig ist. Dann folgen sowie
Wegen
folgt
Es gelten sowie
Somit existiert der Grenzwert
und es gilt
q.e.d.