Kurs:Analysis III/Kapitel II: Grundlagen der Funktionalanalysis/§8 Beschränkte lineare Funktionale auf L^p(X) und schwache Konvergenz

Satz 1 (Fortsetzungssatz)

Seien $p\in [0,+\infty )$ und $A:M^{\infty }(X)\to \mathbb {R}$ ein lineares Funktional mit folgender Eigenschaft: Es gibt eine Konstante $\alpha \in [0,+\infty )$, so dass

$|A(f)|\leq \alpha \|f\|_{L^{p}(X)}$ für alle $f\in M^{\infty }(X)$

gilt. Dann gibt es genau ein beschränktes lineares Funktional ${\hat {A}}:L^{p}(X)\to \mathbb {R}$ mit

$\|{\hat {A}}\|\leq \alpha$ und ${\hat {A}}(f)=A(f)$ für alle $f\in M^{\infty }(X)$.

Somit ist das Funktional ${\hat {A}}$ von $M^{\infty }(X)$ auf $L^{p}(X)$ eindeutig fortsetzbar.

Beweis

$A$ ist ein beschränktes, lineares Funktional auf $\{M^{\infty }(X),\|\cdot \|_{L^{p}(X)}\}$ und somit stetig. Nun gibt es zu jedem $f\in L^{p}(X)$ eine Folge $\{f_{k}\}_{k=1,2,\ldots }\subset M^{\infty }(X)$ mit

$\|f_{k}-f\|_{L^{p}(X)}\to 0$ für $k\to \infty$.

Wir setzen dann

${\hat {A}}(f):=\lim _{k\to \infty }A(f_{k}).$

Man prüft leicht nach, dass ${\hat {A}}$ unabhängig von der gewählten Folge $\{f_{k}\}_{k=1,2,\ldots }$ erklärt ist und dass ${\hat {A}}:L^{p}(X)\to \mathbb {R}$ linear ist. Weiter gilt

$\|{\hat {A}}\|=\sup _{f\in L^{p} \atop \|f\|_{p}\leq 1}|{\hat {A}}(f)|=\sup _{f\in M^{\infty } \atop \|f\|_{p}\leq 1}|A(f)|\leq \alpha .$

Sind ${\hat {A}}$ und ${\hat {B}}$ zwei Fortsetzungen von $A$ auf $L^{p}(X)$, so folgt ${\hat {A}}={\hat {B}}$ auf $M^{\infty }(X)$. Da ${\hat {A}}$ und ${\hat {B}}$ stetig sind und $M^{\infty }(X)$ dicht in $L^{p}(X)$ ist, erhalten wir ${\hat {A}}={\hat {B}}$ auf $L^{p}(X)$.

q.e.d.

Satz 2 (Regularitätssatz im $L^{p}(X)$)

Seien $1\leq p<+\infty$ und $g\in L^{1}(X)$. Weiter gebe es eine Konstante $\alpha \in [0,+\infty )$, so dass

(1) $|A_{g}(f)|=|I(fg)|\leq \alpha \|f\|_{p}$ für alle $f\in M^{\infty }(X)$

gilt. Dann folgen $g\in L^{q}(X)$ und $\|g\|_{q}\leq \alpha$.

Beweis

1. Zunächst folgern wir aus (1) die Ungleichung

(2) $|I(fg)|\leq \alpha \|f\|_{p}$ für alle $f$ messbar, beschränkt.

Nun existiert nämlich zu einer beschränkten, messbaren Funktion $f:X\to \mathbb {R}$ eine Funktionenfolge $\{f_{k}\}_{k=1,2,\ldots }\subset M^{\infty }(X)$ mit

$f_{k}(x)\to f(x)$ f. ü. in $X$

und

$\sup _{X}|f_{k}(x)|\leq \sup _{X}|f(x)|=:c\in [0,+\infty ).$

Mit dem Lebesgueschen Konvergenzsatz folgt

$|I(fg)|=\lim _{k\to \infty }|I(f_{k}g)|\leq \lim _{k\to \infty }\alpha \|f_{k}\|_{p}=\alpha \|f\|_{p}.$

2. Sei zunächst $1<p<+\infty$. Wir betrachten die Funktionen

$g_{k}(x):={\begin{matrix}g(x),&x\in X{\text{ mit }}|g(x)|\leq k\\0,&x\in X{\text{ mit }}|g(x)|>k\end{matrix}}.$

Die Funktionen

$f_{k}(x)=|g_{k}(x)|^{\frac {q}{p}}\operatorname {sgn} g_{k}(x),\quad x\in X$

sind dann messbar und beschränkt. Somit können wir $f_{k}(x)$ in (2) einsetzen und erhalten

$I(f_{k}g)=I\left(|g_{k}|^{1+{\frac {q}{p}}}\right)=I(|g_{k}|^{q})=\|g_{k}\|_{q}^{q},$

nach (2) also

$I(f_{k}g)\leq \alpha \|f_{k}\|_{p}=\alpha (I(|g_{k}|^{q}))^{\frac {1}{p}}=\alpha \|g_{k}\|_{q}^{\frac {q}{p}}.$

Wir haben also für $k=1,2,\ldots$ die Abschätzung

$\alpha \geq \|g_{k}\|_{q}^{q-{\frac {q}{p}}}=\|g_{k}\|_{q},\quad \alpha ^{q}\geq I(|g_{k}|^{q}).$

Der Fatousche Satz liefert

$|g(x)|^{q}{\stackrel {\mathrm {f.\ {\ddot {u}}.} }{=}}\liminf _{k\to \infty }|g_{k}(x)|^{q}\in L(X)$

sowie

$\alpha ^{q}\geq I(|g|^{q})$, also $\|g\|_{q}\leq \alpha$.

3. Sei $p=1$. Zu $\varepsilon >0$ betrachten wir die Menge

$E:={\Bigl \{}x\in X:|g(x)|\geq \alpha +\varepsilon {\Bigr \}}.$

Wir setzen $f=\chi _{E}\operatorname {sgn} g$ in (2) ein und erhalten

$\alpha \mu (E)=\alpha \|f\|_{1}\geq |I(fg)|\geq (\alpha +\varepsilon )\mu (E)$

und damit $\mu (E)=0$ für alle $\varepsilon >0$ sowie schließlich $\|g\|_{\infty }\leq \alpha$.

q.e.d.

Definition 1

Ein Daniellsches Integral

$J:M^{\infty }(X)\to \mathbb {R} ,$

das die Bedingungen (M1) bis (M3) und (D1) bis (D3) aus §7 erfüllt und auf $L^{1}(X,J)\supset L^{\infty }(X)$ fortsetzbar ist, nennen wir absolut stetig bezüglich $I$, falls folgendes gilt:

(D4) Jede $I$-Nullmenge ist eine $J$-Nullmenge.

Satz 4 (Radon-Nikodym)

Sei das Daniellsche Integral $J$ absolut stetig bezüglich $I$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion $g\in L^{1}(X)$, so dass

$J(f)=I(fg)$ für alle $f\in M^{\infty }(X)$

gilt.

Beweis

1. Sei $f\in L^{\infty }(X)$ gegeben, so gibt es eine Nullmenge $N\subset X$ und eine Konstante $c\in [0,+\infty )$, so dass

$|f(x)|\leq c$ für alle $x\in X\setminus N$

erfüllt ist. Wegen (D4) ist $N$ auch eine $J$-Nullmenge und es folgt $f\in L^{\infty }(X,J)$. Für eine Folge $\{f_{k}\}_{k=1,2,\ldots }\subset L^{\infty }(X)$ mit $f_{k}\downarrow 0\ (k\to \infty )$ f. ü. auf $X$ folgt

$f_{k}\downarrow 0$ J-f. ü. auf $X$ für $k\to \infty$

aus (D4). Nach dem Satz von Levi auf dem Raum $L^{1}(X,J)$ gilt dann

$\lim _{k\to \infty }J(f_{k})=0.$

Also ist $J:L^{\infty }(X)\to \mathbb {R}$ ein Daniellsches Integral. Wir betrachten nun das Daniellsche Integral

(3) $K(f):=I(f)+J(f),\quad f\in L^{\infty }(X).$

Dieses setzen wir wie in §2 auf den Raum $L^{1}(X,K)$ fort; hierzu reichen die f. ü.-Eigenschaften aus. Wir beachten $L^{1}(X,K)\supset L^{p}(X,K)$ für alle $p\in [1,+\infty ]$.

2. Für $f\in M^{\infty }(X)$ und $p,q\in [1,+\infty ]$ mit $p^{-1}+q^{-1}=1$ gilt

$|J(f)|\leq J(|f|)\leq K(|f|)\leq \|f\|_{L^{p}(X,K)}\|1\|_{L^{q}(X,K)}=(I(1)+J(1))^{\frac {1}{q}}\|f\|_{L^{p}(X,K)}.$

$J$ ist somit ein lineares Funktional auf dem Raum $L^{p}(X,K)$ für beliebiges $p\in [0,+\infty )$. Für den Hilbertraum $L^{2}(X,K)$ können wir den Darstellungssatz von Frechet-Riesz anwenden und erhalten

$J(f)=K(fh)$ für alle $f\in M^{\infty }(X)$

mit einem $h\in L^{2}(X,K)$. Nun können wir Satz 2 mit $p=1$ anwenden und wir sehen $h\in L^{\infty }(X,K)$. Da $J$ nicht negativ ist, folgt $h(x)\geq 0$ K-f. ü. auf $X$. Da ferner wegen (3) und Voraussetzung (D4) die $K$-Nullmengen mit den $I$-Nullmengen übereinstimmen, erhalten wir

$h(x)\geq 0$ f. ü. in $X$.

3. Für $f\in M^{\infty }(X)$ können wir somit (4) und (3) iterieren

$J(f)=K(fh)=I(fh)+J(fh)=I(fh)+K(fh^{2})=I(fh)+I(fh^{2})+J(fh^{2})=\ldots$

und erhalten

(5) $J(f)=I\left(f\sum _{k=1}^{l}h^{k}\right)+J(fh^{l}),\quad l=1,2,\ldots$.

Seien

$A:={\Bigl \{}x\in X:h(x)\geq 1{\Bigr \}}$

und $f=\chi _{A}$. Durch Approximation sieht man leicht ein, dass dieses $f$ in (5) eingesetzt werden kann. Wir erhalten

$+\infty >J(f)\geq I\left(f\sum _{k=1}^{l}h^{k}\right)\geq lI(\chi _{A})$ für alle $l\in \mathbb {N}$

bzw. $I(\chi _{A})=0$. Somit folgen $0\leq h(x)<1$ f. ü. in $X$ und

(6) $h^{l}(x)\downarrow 0$ f. ü. in $X$ für $l\to \infty$.

Durch den Grenzübergang $l\to \infty$ in (5) erhalten wir mit dem Satz von Levi

$J(f)=I\left(f\sum _{k=1}^{\infty }h^{k}\right)$ für alle $f\in M^{\infty }(X)$,

wenn wir noch $f=f^{+}-f^{-}$ beachten. Speziell für $f(x)\equiv 1$ in $X$ folgt, dass

$g(x)=\sum _{k=1}^{\infty }h^{k}(x){\stackrel {\mathrm {f.\ {\ddot {u}}.} }{=}}{\frac {h(x)}{1-h(x)}}\in L^{1}(X)$

erfüllt ist.

q.e.d.

Satz 4 (Zerlegungssatz von Jordan-Hahn)

Sei $A:M^{\infty }(X)\to \mathbb {R}$ ein beschränktes lineares Funktional auf dem linearen normierten Raum $\{M^{\infty }(X),\|\cdot \|_{p}\}$, wobei $p\in [1,+\infty )$ gelte. Dann gibt es zwei nicht negative beschränkte lineare Funktionale $A^{\pm }:M^{\infty }(X)\to \mathbb {R}$ mit $A=A^{+}-A^{-}$, d. h. es gilt

$A(f)=A^{+}(f)-A^{-}(f)$ für alle $f\in M^{\infty }(X)$

mit

$A^{\pm }(f)\geq 0$ für alle $f\in M^{\infty }(X)$ mit $f\geq 0$.

Ferner sind

$\|A^{\pm }\|\leq 2\|A\|,\quad \|A^{-}\|\leq 3\|A\|$

erfüllt. Dabei gelten

$\|A\|:=\sup _{f\in M^{\infty } \atop \|f\|_{p}\leq 1}|A(f)|,\quad \|A^{\pm }\|:=\sup _{f\in M^{\infty } \atop \|f\|_{p}\leq 1}|A^{\pm }(f)|.$

Beweis

1. Für $f\in M^{\infty }(X)$ mit $f\geq 0$ setzen wir

$A^{+}(f):=\sup {\Bigl \{}A(g):g\in M^{\infty }(X),0\leq g\leq f{\Bigr \}}.$

Offenbar ist $A^{+}(f)\geq 0$ für $f\geq 0$ und für alle $f\geq 0$ und $c\geq 0$ gilt

$A^{+}(cf)=\sup {\Bigl \{}A(g):0\leq g\leq cf{\Bigr \}}=\sup {\Bigl \{}A(cg):0\leq g\leq f{\Bigr \}}$

$=c\sup {\Bigl \{}A(g):0\leq g\leq f{\Bigr \}}=cA^{+}(f).$

Seien nun $f_{j}\in M^{\infty }(X)$ mit $f_{j}\geq 0,j=1,2$, so folgt

$A^{+}(f_{1})+A^{+}(f_{2})=\sup {\Bigl \{}A(g_{1}):0\leq g_{1}\leq f_{1}{\Bigr \}}+\sup {\Bigl \{}A(g_{2}):0\leq g_{2}\leq f_{2}{\Bigr \}}$

$=\sup {\Bigl \{}A(g_{1}+g_{2}):0\leq g_{1}\leq f_{1},0\leq g_{2}\leq f_{2}{\Bigr \}}$

$\leq \sup {\Bigl \{}A(g):0\leq g\leq f_{1}+f_{2}{\Bigr \}}=A^{+}(f_{1}+f_{2}).$

Zu gegebenem $g$ mit $0\leq g\leq f_{1}+f_{2}$ setzen wir

$g_{1}:=\min(g,f_{1})$ und $g_{2}:=(g-f_{1})$.

Dann gelten $g_{j}\leq f_{j},j=1,2$ sowie $g_{1}+g_{2}=g$. Damit erhält man sofort

$A^{+}(f_{1}+f_{2})\leq A^{+}(f_{1})+A^{+}(f_{2})$

und schließlich

$A^{+}(f_{1}+f_{2})=A^{+}(f_{1})+A^{+}(f_{2}).$

Weiter gilt für alle $f\in M^{\infty }(X)$ mit $f\geq 0$

$|A^{+}(f)|=\left|\sup {\Bigl \{}A(g):g\in M^{\infty }(X),0\leq g\leq f{\Bigr \}}\right|$

$\leq \sup {\Bigl \{}|A(g)|:g\in M^{\infty }(X),0\leq g\leq f{\Bigr \}}$

$\leq \sup {\Bigl \{}\|A\|\|g\|_{p}:g\in M^{\infty }(X),0\leq g\leq f{\Bigr \}}\leq \|A\|\|f\|_{p}.$

2. Wir erweitern nun $A^{+}:M^{\infty }(X)\to \mathbb {R}$ wie folgt:

$M^{\infty }(X)\ni f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x)$ mit $f^{\pm }(x)\geq 0$

und setzen

$A^{+}(f):=A^{+}(f^{+})-A^{+}(f^{-}).$

Somit wird $A^{+}:M^{\infty }(X)\to \mathbb {R}$ eine lineare Abbildung, die beschränkt ist. Es gilt nämlich für alle $f\in M^{\infty }(X)$

$|A^{+}(f)|\leq |A^{+}(f^{+})|+|A^{+}(f^{-})|$

$\leq \|A\|(\|f^{+}\|_{p}+\|f^{-}\|_{p})\leq 2\|A\|\|f\|_{p},$

also $\|A^{+}\|\leq 2\|A\|$.

3. Wir setzen nun

$A^{-}(f):=A^{+}(f)-A(f)$ für alle $f\in M^{\infty }(X)$.

Offenbar ist $A^{-}$ ein beschränktes lineares Funktional, denn es gilt

$|A^{-}(f)|\leq |A^{+}(f)|+|A(f)|\leq 2\|A\|\|f\|_{p}+\|A\|\|f\|_{p},$

also $\|A^{-}\|\leq 3\|A\|$. Schließlich ist für alle $f\in M^{\infty }(X)$ mit $f\geq 0$

$A^{-}(f):=A^{+}(f)-A(f)=\sup {\Bigl \{}A(g):0\leq g\leq f{\Bigr \}}-A(f)\geq 0$

erfüllt.

q.e.d.

Satz 5 (Rieszscher Darstellungssatz)

Sei $1\leq p<+\infty$. Zu jedem beschränkten linearen Funktional $A\in ({\mathcal {L}}^{p}(X))^{*}$ gibt es genau ein $g\in {\mathcal {L}}^{q}(X)$ mit der Eigenschaft

$A(f)=I(fg)$ für alle $f\in {\mathcal {L}}^{p}(X)$.

Dabei ist $p^{-1}+q^{-1}=1$ für den konjugierten Exponenten $q\in (1,+\infty ]$ erfüllt.

Beweis

Wir führen den Beweis in zwei Schritten.
1. Eindeutigkeit: Seien Funktionen $g_{1},g_{2}\in {\mathcal {L}}^{q}(X)$ mit

$A(f)=I(fg_{1})=I(fg_{2})$ für alle $f\in {\mathcal {L}}^{p}(X)$

gegeben, so folgt

$0=I{\Bigl (}f(g_{1}-g_{2}){\Bigr )}$ für alle $f\in {\mathcal {L}}^{p}(X)$.

Wir erhalten $0=\|g_{1}-g_{2}\|_{{\mathcal {L}}^{q}(X)}$, woraus $g_{1}=g_{2}$ in ${\mathcal {L}}^{q}(X)$ folgt.

2. Existenz: Für das Funktional $A:M^{\infty }(X)\to \mathbb {R}$ gilt

(8) $|A(f)|\leq \alpha \|f\|_{p}$ für alle $f\in M^{\infty }(X)$

mit einem $\alpha \in [0,+\infty )$. Nach dem Zerlegungssatz von Jordan-Hahn gibt es nicht negative, beschränkte lineare Funktionale $A^{\pm }:M^{\infty }(X)\to \mathbb {R}$ mit

$\|A^{\pm }\|\leq 3\|A\|\leq 3\alpha$ und $A=A^{+}-A^{-}$,

wobei $M^{\infty }(X)$ mit der $\|\cdot \|_{p}$-Norm ausgestattet ist. Insbesondere gilt $|A^{\pm }(f)|<+\infty$ für $f(x)=1,x\in X$. Eine Folge $\{f_{k}\}_{k=1,2,\ldots }\subset M^{\infty }(X)$ mit $f_{k}\downarrow 0$ in $X$ konvergiert nach dem Dinischen Satz kompakt gleichmäßig gegen 0. Wir erhalten dann

$|A^{\pm }(f_{k})|\leq 3\alpha \|f_{k}\|_{p}\to 0$ für $k\to \infty$.

Wir haben also mit $A^{\pm }$ zwei Daniellsche Integrale, die absolut stetig bezüglich $I$ sind. Ist nämlich $N$ eine $I$-Nullmenge, so gilt

$|A^{\pm }(\chi _{N})|\leq 3\alpha \|\chi _{N}\|_{p}=0,$

und somit ist $N$ auch eine Nullmenge für die Daniellschen Integrale $A^{\pm }$. Nach dem Satz von Radon-Nikodym gibt es $g^{\pm }\in {\mathcal {L}}^{1}(X)$, so dass

$A^{\pm }(f)=I(fg^{\pm })$ für alle $f\in M^{\infty }(X)$

richtig ist. Somit folgt

$A(f)=A^{+}(f)-A^{-}(f)=I(fg^{+})-I(fg^{-})=I(fg)$ für alle $f\in M^{\infty }(X)$,

wobei $g:=g^{+}-g^{-}\in {\mathcal {L}}^{1}(X)$. Wegen (8) liefert der Regularitätssatz $g\in {\mathcal {L}}^{q}(X)$. Setzen wir noch das Funktional stetig auf ${\mathcal {L}}^{p}(X)$ fort, so erhalten wir

$A(f)=I(fg)$ für alle $f\in {\mathcal {L}}^{p}(X)$

mit einer Funktion $g\in {\mathcal {L}}^{q}(X)$.

q.e.d.

Definition 2

Eine Folge $\{x_{k}\}_{k=1,2,\ldots }\subset {\mathcal {B}}$ in einem Banachraum ${\mathcal {B}}$ heißt schwach konvergent gegen ein Element $x\in {\mathcal {B}}$, in Zeichen $x_{k}\rightharpoondown x$, wenn für jedes stetige lineare Funktional $A\in {\mathcal {B}}^{*}$ die Relation

$\lim _{k\to \infty }A(x_{k})=A(x)$

richtig ist.

Satz 6 (Schwache Konvergenz)

Seien $1<p<+\infty$ und $\{f_{k}\}_{k=1,2,\ldots }\subset L^{p}(X)$ eine beschränkte Folge mit

$\|f_{k}\|_{p}\leq c$ für ein $c\in [0,+\infty )$ und alle $k\in \mathbb {N}$.

Dann gibt es eine Teilfolge $\{f_{k_{l}}\}_{l=1,2,\ldots }$ und ein $f\in L^{p}(X)$, so dass $f_{k_{l}}\rightharpoondown f$ in $L^{p}(X)$ gilt.

Beweis

1. Nach dem Rieszschen Darstellungssatz gilt $f_{l}\rightharpoondown f$ genau dann, wenn $I(f_{l}g)\to I(fg)$ für alle $g\in L^{q}(X)$ richtig ist; dabei ist wieder $p^{-1}+q^{-1}=1$. Nach §7, Satz 5 ist der Raum $L^{q}(X)$ separabel, es gibt also eine Folge $\{g_{m}\}_{m=1,2,\ldots }\subset L^{q}(X)$, die in $L^{q}(X)$ dicht liegt. Aus der beschränkten Folge $\{f_{k}\}_{k=1,2,\ldots }\subset L^{p}(X)$ mit $\|f_{k}\|_{p}\leq c$ für alle $k\in \mathbb {N}$ wählen wir nun sukzessive Teilfolgen

$\{f_{k}\}_{k=1,2,\ldots }\supset \{f_{k_{l}^{(1)}}\}_{l=1,2,\ldots }\supset \{f_{k_{l}^{(2)}}\}_{l=1,2,\ldots }\supset \ldots$

aus, so dass

$\lim _{l\to \infty }I(f_{k_{l}^{(m)}}g_{m})=:\alpha _{m}\in \mathbb {R} ,\quad m=1,2,\ldots$

gilt. Wir wenden nun das Cantorsche Diagonalverfahren an und gehen zur Diagonalfolge $f_{k_{l}}:=f_{k_{l}^{(l)}},l=1,2,\ldots$ über. Es gilt dann

$\lim _{l\to \infty }I(f_{k_{l}}g_{m})=\alpha _{m},\quad m=1,2,\ldots$

2. Sei mit

${\mathcal {D}}:=\left\{g\in L^{q}(X):{\begin{matrix}{\text{Es gibt ein }}N\in \mathbb {N} {\text{ sowie }}c_{1},\ldots ,c_{N}\in \mathbb {R} \\{\text{und }}1\leq i_{1}<\ldots <i_{N}<+\infty {\text{ mit }}\sum \limits _{k=1}^{N}c_{k}g_{i_{k}}\end{matrix}}\right\}$

der lineare Raum der endlichen Linearkombinationen von $\{g_{m}\}_{m=1,2,\ldots }$ bezeichnet. Offenbar existiert

$A(g):=\lim _{l\to \infty }I(f_{k_{l}}g)$ für alle $g\in {\mathcal {D}}$.

$A:{\mathcal {D}}\to \mathbb {R}$ ist ein lineares beschränktes Funktional auf dem in $L^{q}(X)$ dichten Raum ${\mathcal {D}}$ mit

$|A(g)|\leq c\|g\|_{q}$ für alle $g\in {\mathcal {D}}$.

Wie in Satz 1 setzen wir $A$ von ${\mathcal {D}}$ auf den Raum $L^{q}(X)$ fort und erhalten mit dem Darstellungssatz von Riesz ein $f\in L^{p}(X)$ mit

$A(g)=I(fg)$ für alle $g\in L^{q}(X)$.

3. Wir zeigen nun, dass $f_{k_{l}}\rightharpoondown f$ in $L^{p}(X)$ gilt. Zu jedem $g\in L^{q}(X)$ finden wir eine Folge $\{{\tilde {g}}_{j}\}_{j=1,2,\ldots }\subset {\mathcal {D}}$ mit

$g{\stackrel {L^{q}}{=}}\lim _{j\to \infty }{\tilde {g}}_{j}\in L^{q}(X).$

Wir erhalten

$|I(fg)-I(f_{k_{l}}g)|\leq |I(f(g-{\tilde {g}}_{j}))|+|I((f-f_{k_{l}}){\tilde {g}}_{j})|+|I(f_{k_{l}}({\tilde {g}}_{j}-g))|$

$\leq 2C\|g-{\tilde {g}}_{j}\|_{q}+|I((f-f_{k_{l}}){\tilde {g}}_{j})|\leq \varepsilon$

für hinreichend großes, aber festes $j$ und $l\geq l_{0}$.

q.e.d.