Kurs:Analysis III/Kapitel V: Potenzialtheorie und Kugelfunktionen

§1 Die Poissonsche Differentialgleichung

Definition 1

Mit

$\Gamma (z):=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C}$ mit $\operatorname {Re} \,z>0$

bezeichnen wir die Gammafunktion.

Definition 2

Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n},n\geq 2$ eine offene Menge, so nennen wir die Funktion $\varphi =\varphi (x)\in C^{2}(\Omega ,\mathbb {R} )$ harmonisch in $\Omega$, falls sie der Laplaceschen Differentialgleichung

(1) $\Delta \varphi (x)=\varphi _{x_{1}x_{1}}(x)+\ldots +\varphi _{x_{n}x_{n}}(x)=0$ für alle $x\in \Omega$

genügt.

Definition 3

Ein Gebiet $G\subset \mathbb {R} ^{n}$, das den Voraussetzungen des Gaußschen Satzes aus Kapitel I, §5 genügt, nennen wir ein Normalgebiet im $\mathbb {R} ^{n}$.

Definition 4

Sei $G\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Normalgebiet. Wir erklären die Funktion

(2) $\varphi (y;x):={\frac {1}{2\pi }}\log |y-x|+\psi (y;x),\quad x,y\in G$ mit $x\neq y,\quad n=2$

bzw.

(3) $\varphi (y;x):={\frac {1}{(2-n)\omega _{n}}}|y-x|^{2-n}+\psi (y;x),\quad x,y\in G$ mit $x\neq y,\quad n\geq 3$.

Hierbei ist für jedes feste $x\in G$ die Funktion $\psi (\cdot ;x)$ mit $y\mapsto \psi (y;x)$ harmonisch in $G$ sowie aus der Klasse $C^{1}({\overline {G}})$ und es ist $\psi \in C^{0}({\overline {G}}\times {\overline {G}})$. Dann nennen wir $\varphi (y;x)$ eine Grundlösung der Laplacegleichung in $G$.

Definition 5

Eine Funktion $\varphi =\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n}):\Omega \to \mathbb {R}$ auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ nennen wir reell analytisch in $\Omega$, wenn es für jeden Punkt ${\stackrel {\circ }{x}}=\left({\stackrel {\circ }{x}}_{1},\ldots ,{\stackrel {\circ }{x}}_{n}\right)\in \Omega$ eine für hinreichend kleines $\varepsilon =\varepsilon \left({\stackrel {\circ }{x}}\right)>0$ konvergente Potenzreihe

${\mathcal {P}}(z_{1},\ldots ,z_{n})=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{n}=0}^{\infty }a_{k_{1}\ldots k_{n}}z_{1}^{k_{1}}\cdot \ldots \cdot z_{n}^{k_{n}}$ für $z_{j}\in \mathbb {C}$ mit $|z_{j}|\leq \varepsilon ,\quad j=1,\ldots ,n$

mit den reellen Koeffizienten $a_{k_{1}\ldots k_{n}}\in \mathbb {R}$ für $k_{1},\ldots ,k_{n}=0,1,2,\ldots$ so gibt, dass

$\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})={\mathcal {P}}\left(x_{1}-{\stackrel {\circ }{x}}_{1},\ldots ,x_{n}-{\stackrel {\circ }{x}}_{n}\right),\quad \left|x_{j}-{\stackrel {\circ }{x}}_{j}\right|\leq \varepsilon ,\quad j=1,\ldots ,n$

erfüllt ist.

Satz 1 (Analytizitätstheorem für die Poissongleichung)

In der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n},n\geq 2$ sei die reell analytische Funktion $f=f(x_{1},\ldots ,x_{n}):\Omega \to \mathbb {R}$ gegeben. Ferner sei $u=u(x_{1},\ldots ,x_{n})\in C^{2}(\Omega )$ eine Lösung der Poissonschen Differentialgleichung

$\Delta u(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},\ldots ,x_{n}),\quad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in \Omega .$

Dann ist $u(x)$ reell analytisch in $\Omega$.

Beweis

Sei ${\stackrel {\circ }{x}}\in \Omega$ und $B_{R}\left({\stackrel {\circ }{x}}\right)\subset \subset \Omega$, so stellen wir die Lösung $u$ durch die Grundlösung $\varphi$ dar als

$u(x)=\int \limits _{\partial B_{R}\left({\stackrel {\circ }{x}}\right)}\left(u(y){\frac {\partial \varphi }{\partial \nu }}(y;x)-\varphi (y;x){\frac {\partial u}{\partial \nu }}(y)\right)\,d\sigma (y)+\int \limits _{B_{R}\left({\stackrel {\circ }{x}}\right)}\varphi (y;x)f(y)\,dy$

mit $x\in B_{R}\left({\stackrel {\circ }{x}}\right)$. Nun stellt das erste Integral auf der rechten Seite eine um den Punkt ${\stackrel {\circ }{x}}$ reell analytische Funktion dar. Es wurde gezeigt, dass auch das zweite Integral eine um den Punkt ${\stackrel {\circ }{x}}$ reell analytische Funktion liefert.

q.e.d.

§2 Die Poissonsche Integralformel mit ihren Folgerungen

Definition 1

In einem Normalgebiet $G\subset \mathbb {R} ^{n}$ sei eine Grundlösung $\varphi =\varphi (y;x)$ gegeben. Diese nennen wir Greensche Funktion für das Gebiet $G$, falls für alle $x\in G$ die Randbedingung

(1) $\varphi (y;x)=0$ für alle $y\in \partial G$

erfüllt ist.

Satz 1 (Poissonsche Integralformel)

In der Kugel $B_{R}:=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:|y|<R\}$ vom Radius $R\in (0,+\infty )$ im $\mathbb {R} ^{n},n\geq 2$ löse die Funktion $u=u(x)=u(x_{1},\ldots ,x_{n})\in C^{2}(B_{R})\cap C^{0}({\overline {B}}_{R})$ die Poissonsche Differentialgleichung

$\Delta u(x)=f(x),\quad x\in B_{R}$

mit der rechten Seite $f=f(x)\in C^{0}({\overline {B}}_{R})$. Dann gilt für alle $x\in B_{R}$ die Poissonsche Integraldarstellung

(2) $u(x)={\frac {1}{R\omega _{n}}}\int \limits _{|y|=R}{\frac {|y|^{2}-|x|^{2}}{|y-x|^{n}}}u(y)\,d\sigma (y)+\int \limits _{|y|\leq R}\varphi (y;x)f(y)\,dy.$

Dabei ist $\varphi =\varphi (y;x)$ die Greensche Funktion

$\varphi (y;x)={\frac {1}{2\pi }}\log \left|{\frac {R(y-x)}{R^{2}-{\overline {x}}y}}\right|.$

Beweis

1. Wir setzen zunächst $u\in C^{2}({\overline {B}}_{R})$ voraus. Dann gilt die Identität

$u(x)=\int \limits _{|y|=R}u(y){\frac {\partial \varphi }{\partial \nu }}(y;x)\,d\sigma (y)+\int \limits _{|y|\leq R}\varphi (y;x)f(y)\,dy,\quad x\in B_{R}.$

Wir beschränken uns zunächst auf den Fall $n\geq 3$. Dann haben wir als Greensche Funktion

$\varphi (y;x)={\frac {1}{(2-n)\omega _{n}}}{\Bigl (}|y-x|^{2-n}-K|y-\lambda x|^{2-n}{\Bigr )},\quad y\in {\overline {B}}_{R},\quad x\in B_{R}$ mit $\lambda :=\left({\frac {R}{|x|}}\right)^{2}$ und $K=\left({\frac {R}{|x|}}\right)^{n-2}=\lambda ^{\frac {n-2}{2}}$.

Ist nun $x\in B_{R}$ fest und $y\in \partial B_{R}$ beliebig, so berechnen wir

${\frac {\partial }{\partial \nu }}\varphi (y;x)={\frac {y}{R}}\cdot \nabla _{y}\varphi (y;x)={\frac {1}{R\omega _{n}}}y\cdot \left(|y-x|^{1-n}{\frac {y-x}{|y-x|}}-K|y-\lambda x|^{1-n}{\frac {y-\lambda x}{|y-\lambda x|}}\right)$

$={\frac {1}{R\omega _{n}}}y\cdot \left({\frac {y-x}{|y-x|^{n}}}-K{\frac {y-\lambda x}{|y-\lambda x|^{n}}}\right).$

Diese Formel bleibt auch für $n=2$ richtig, wobei dann $K=1$ erfüllt ist. Wir beachten noch

$|y-\lambda x|^{2}=R^{2}-2\lambda (x\cdot y)+\lambda ^{2}|x|^{2}=R^{2}-2{\frac {R^{2}}{|x|^{2}}}(x\cdot y)+{\frac {R^{4}}{|x|^{2}}}$

$={\frac {R^{2}}{|x|^{2}}}{\Bigl (}|x|^{2}-2(x\cdot y)+R^{2}{\Bigr )}=\lambda |y-x|^{2}$

bzw.

$|y-\lambda x|^{n}=\lambda ^{\frac {n}{2}}|y-x|^{n}.$

Es folgt schließlich

${\frac {\partial }{\partial \nu }}\varphi (y;x)={\frac {1}{R\omega _{n}|y-x|^{n}}}y\cdot {\Bigl (}x-y-K\lambda ^{-{\frac {n}{2}}}(y-\lambda x){\Bigr )}$

$={\frac {1}{R\omega _{n}|y-x|^{n}}}y\cdot {\Bigl (}(1-K\lambda ^{-{\frac {n}{2}}})y-(1-K\lambda ^{\frac {-n+2}{2}})x{\Bigr )}$

$={\frac {|y|^{2}}{R\omega _{n}|y-x|^{n}}}\left(1-{\frac {1}{\lambda }}\right)={\frac {|y|^{2}}{R\omega _{n}|y-x|^{n}}}\left(1-{\frac {|x|^{2}}{R^{2}}}\right)$

$={\frac {|y|^{2}-|x|^{2}}{R\omega _{n}|y-x|^{n}}}$ für alle $y\in \partial B_{R}$ und $x\in B_{R}$.

Wir erhalten somit die Poissonsche Integraldarstellung

$u(x)={\frac {1}{R\omega _{n}}}\int \limits _{|y|=R}{\frac {|y|^{2}-|x|^{2}}{|y-x|^{n}}}u(y)\,d\sigma (y)+\int \limits _{|y|\leq R}\varphi (y;x)f(y)\,dy,\quad x\in B_{R}.$

2. Ist nun $u\in C^{2}(B_{R})\cap C^{0}({\overline {B}}_{R})$, so gilt nach Teil 1 des Beweises für alle $\varrho \in (0,R)$ die Identität

$u(x)={\frac {1}{\varrho \omega _{n}}}\int \limits _{|y|=\varrho }{\frac {|y|^{2}-|x|^{2}}{|y-x|^{n}}}u(y)\,d\sigma (y)+\int \limits _{|y|\leq \varrho }\varphi (y;x,\varrho )f(y)\,dy,$

wobei $\varphi (y;x,\varrho )$ die Greensche Funktion für $B_{\varrho }$ bezeichnet. Für $\varrho \to R$ erhalten wir dann

$u(x)={\frac {1}{R\omega _{n}}}\int \limits _{|y|=R}{\frac {|y|^{2}-|x|^{2}}{|y-x|^{n}}}u(y)\,d\sigma (y)+\int \limits _{|y|\leq R}\varphi (y;x,R)f(y)\,dy$

für alle $x\in B_{R}$.

q.e.d.

Satz 2 (Harnacksche Ungleichung)

Die Funktion $u(x)\in C^{2}(B_{R})$ sei in der Kugel $B_{R}=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:|y|<R\}$ mit $R\in (0,+\infty )$ harmonisch und es gelte $u(x)\geq 0$ für alle $x\in B_{R}$. Dann folgt

(3) ${\frac {1-{\frac {|x|}{R}}}{\left(1+{\frac {|x|}{R}}\right)^{n-1}}}u(0)\leq u(x)\leq {\frac {1+{\frac {|x|}{R}}}{\left(1-{\frac {|x|}{R}}\right)^{n-1}}}u(0)$ für alle $x\in B_{R}$.

Beweis

Wir nehmen zunächst $u\in C^{2}({\overline {B}}_{R})$ an und können dann durch Grenzübergang die Ungleichung auch für Funktionen $u\in C^{2}(B_{R})$ beweisen . Satz 1 entnehmen wir

$u(x)=\int \limits _{|y|=R}P(x,y,R)u(y)\,d\sigma (y),\quad x\in B_{R}.$

Für beliebige $y\in \mathbb {R} ^{n}$ mit $|y|=R$ und $x\in B_{R}$ ist die folgende Ungleichung erfüllt:

${\frac {|y|^{2}-|x|^{2}}{(R+|x|)^{n}}}\leq {\frac {|y|^{2}-|x|^{2}}{|y-x|^{n}}}\leq {\frac {|y|^{2}-|x|^{2}}{(R-|x|)^{n}}}.$

Multiplizieren wir diese Ungleichung mit ${\frac {1}{R\omega _{n}}}u(y)$ und integrieren anschließend über $\partial B_{R}$, so folgt

${\frac {1}{R\omega _{n}}}{\frac {R^{2}-|x|^{2}}{(R+|x|)^{n}}}\int \limits _{|y|=R}u(y)\,d\sigma (y)\leq u(x)\leq {\frac {1}{R\omega _{n}}}{\frac {R^{2}-|x|^{2}}{(R-|x|)^{n}}}\int \limits _{|y|=R}u(y)\,d\sigma (y).$

Die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen ausnutzend erhalten wir nun

$R^{n-2}{\frac {R^{2}-|x|^{2}}{(R+|x|)^{n}}}u(0)\leq u(x)\leq R^{n-2}{\frac {R^{2}-|x|^{2}}{(R-|x|)^{n}}}u(0)$

bzw.

${\frac {1-{\frac {|x|^{2}}{R^{2}}}}{\left(1+{\frac {|x|}{R}}\right)^{n}}}u(0)\leq u(x)\leq {\frac {1-{\frac {|x|^{2}}{R^{2}}}}{\left(1-{\frac {|x|}{R}}\right)^{n}}}u(0),\quad x\in B_{R}$

Hieraus ergibt sich

${\frac {1-{\frac {|x|}{R}}}{\left(1+{\frac {|x|}{R}}\right)^{n-1}}}u(0)\leq u(x)\leq {\frac {1+{\frac {|x|}{R}}}{\left(1-{\frac {|x|}{R}}\right)^{n-1}}}u(0),\quad x\in B_{R}.$

q.e.d.

Satz 3 (Liouvillescher Satz für harmonische Funktionen)

Sei $u(x):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ eine harmonische Funktion, welche $u(x)\leq M$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$ mit einer Konstante $M\in \mathbb {R}$ erfüllt. Dann folgt $u(x)\equiv \operatorname {const} ,x\in \mathbb {R} ^{n}$.

Beweis

Wir betrachten die harmonische Funktion $v(x):=M-u(x),x\in \mathbb {R} ^{n}$ und stellen $v(x)\geq 0$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$ fest. Die Harnacksche Ungleichung liefert somit

${\frac {1-{\frac {|x|}{R}}}{\left(1+{\frac {|x|}{R}}\right)^{n-1}}}v(0)\leq v(x)\leq {\frac {1+{\frac {|x|}{R}}}{\left(1-{\frac {|x|}{R}}\right)^{n-1}}}v(0),\quad x\in B_{R},\quad R>0.$

Für $R\to +\infty$ erhalten wir $v(x)=v(0)$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$ und damit $u(x)\equiv \operatorname {const} ,x\in \mathbb {R} ^{n}$.

q.e.d.

Definition 2

Sei $G\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Gebiet und $u=u(x)=u(x_{1},\ldots ,x_{n}):G\to \mathbb {R} \in C^{0}(G)$ eine stetige Funktion. Wir nennen $u$ schwach harmonisch (superharmonisch, subharmonisch), falls

$u(a)=(\ \geq ,\ \leq \ )\ {\frac {1}{r^{n-1}\omega _{n}}}\int \limits _{|x-a|=r}u(x)\,d\sigma (x)={\frac {1}{\omega _{n}}}\int \limits _{|\xi |=1}u(a+r\xi )\,d\sigma (\xi )$

für alle $a\in G$ und $r\in (0,\vartheta (a))$ mit einem gewissen $\vartheta (a)\in (0,\operatorname {dist} \,(a,\mathbb {R} ^{n}\setminus G)]$ richtig ist.

Satz 4 (Maximums- und Minimumsprinzip)

Eine im Gebiet $G\subset \mathbb {R} ^{n}$ superharmonische (subharmonische) Funktion $u=u(x):G\to \mathbb {R}$ nehme in einem Punkt ${\stackrel {\circ }{x}}\in G$ ihr globales Minimum (Maximum) an, d. h. es gilt

$u(x)\geq u({\stackrel {\circ }{x}})\quad \left(u(x)\leq u({\stackrel {\circ }{x}})\right)$ für alle $x\in G$.

Dann folgt

$u(x)\equiv \operatorname {const}$ in $G$.

Beweis

Da durch $u\to -u$ subharmonische Funktionen in superharmonische übergehen, ist die Aussage nur für superharmonische Funktionen zu zeigen. Nun nehme die superharmonische Funktion $u:G\to \mathbb {R} \in C^{0}(G)$ ihr globales Minimum in einem Punkt ${\stackrel {\circ }{x}}\in G$ an. Wir betrachten dann die nicht leere Menge

$G^{*}:=\left\{x\in G:u(x)=\inf _{y\in G}u(y)=u({\stackrel {\circ }{x}})\right\},$

welche in $G$ abgeschlossen ist. Wir zeigen nun, dass $G^{*}$ auch offen ist. Ist nämlich $a\in G^{*}$ ein beliebiger Punkt, so haben wir

$\inf _{y\in G}u(y)=u(a)\geq {\frac {1}{\omega _{n}}}\int \limits _{|\xi |=1}u(a+r\xi )\,d\sigma (\xi )$ für alle $r\in (0,\vartheta (a))$.

Somit folgt $u(x)=u(a)$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$ mit $|x-a|<\vartheta (a)$. Folglich ist $G^{*}$ offen. Da nun $G$ ein Gebiet ist, sieht man durch Fortsetzung leicht $u(x)\equiv u({\stackrel {\circ }{x}})$ für alle $x\in G$ ein, d. h. es gilt $u(x)\equiv \operatorname {const} ,x\in G$.

q.e.d.

§3 Das Dirichletproblem für die Laplacegleichung im $\mathbb {R} ^{n}$

Satz 1 (Eindeutigkeitssatz)

Seien $u(x),v(x)$ zwei Lösungen des Dirichletproblems bei gegebenem $G$ und $f$. Dann folgt

$u(x)\equiv v(x)$ in ${\overline {G}}$.

Beweis

Die Funktion $w(x):=v(x)-u(x),x\in {\overline {G}}$ gehört zur Klasse $C^{2}(G)\cap C^{0}({\overline {G}})$, ist insbesondere schwach harmonisch in $G$ und hat die Randwerte

$w(x)=u(x)-v(x)=f(x)-f(x)=0$ für alle $x\in \partial G$.

Es folgt $w(x)\equiv 0$ in ${\overline {G}}$ bzw.

$v(x)\equiv u(x),\quad x\in {\overline {G}}.$

q.e.d.

Satz 2 (Regularitätssatz)

In einem Gebiet $G\subset \mathbb {R} ^{n}$ sei die schwach harmonische Funktion $u=u(x):G\to \mathbb {R} \in C^{0}(G)$ gegeben. Dann ist $u$ reell analytisch in $G$ und genügt der Laplacegleichung $\Delta u(x)=0$ für alle $x\in G$.

Beweis

Sei $a\in G$ beliebig gewählt, so betrachten wir zu geeignetem $R\in (0,+\infty )$ die Kugel $B_{R}(a)\subset \subset G$. In dieser Kugel lösen wir das Dirichletproblem

(1) ${\begin{matrix}v=v(x)\in C^{2}(B_{R}(a))\cap C^{0}({\overline {B_{R}(a)}}),\\\Delta v(x)=0\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ x\in B_{R},\\v(x)=u(x)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ x\in \partial B_{R}.\end{matrix}}$

Es gilt nun $u(x)\equiv v(x)$ in ${\overline {B_{R}(a)}}$. Somit gilt $u\in C^{2}(G)$ und $\Delta u(x)=0$ für alle $x\in G$. Nach §1, Satz 1 ist ferner $u$ reell analytisch in $G$.

Definition 1

Sei $G\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein beschränktes Gebiet und $u=u(x):G\to \mathbb {R} \in C^{0}(G)$ eine stetige Funktion. Dann erklären wir die harmonisch abgeänderte Funktion

$v(x):=[u]_{a,R}(x):={\begin{cases}u(x),&x\in G\ mit\ |x-a|\geq R\\{\frac {1}{R\omega _{n}}}\int \limits _{|y-a|=R}{\frac {|y-a|^{2}-|x-a|^{2}}{|y-x|^{n}}}u(y)\,d\sigma (y),&x\in G\ mit\ |x-a|<R\end{cases}}$

für alle $a\in G$ und $R\in (0,\operatorname {dist} \,(a,\mathbb {R} ^{n}\setminus G))$.

Definition 2

Sei $G\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein beschränktes Gebiet. Einen Randpunkt $x\in \partial G$ nennen wir regulär, wenn es eine superharmonische Funktion $\Phi (y)=\Phi (y;x):G\to \mathbb {R}$ mit

$\lim _{y\to x \atop y\in G}\Phi (y)=0$

und

$\varrho (\varepsilon )\inf _{y\in G \atop |y-x|\geq \varepsilon }\Phi (y)>0$

für alle $\varepsilon >0$ gibt. Ist jeder Randpunkt von $G$ regulär, so sprechen wir von einem Dirichletgebiet.

Satz 3 (Existenzsatz)

Sei $G\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein beschränktes Gebiet mit $n\geq 2$. Dann ist das Dirichletproblem

(2) ${\begin{matrix}u=u(x)\in C^{2}(G)\cap C^{0}({\overline {G}}),\\\Delta u(x)=0\ in\ G,\\u(x)=f(x)\ auf\ \partial G\end{matrix}}$

für alle stetigen Randfunktionen $f:\partial G\to \mathbb {R}$ genau dann lösbar, wenn $G$ im Sinne von Definition 2 ein Dirichletgebiet ist.

Beweis

„$\Rightarrow$“ Das Dirichletproblem sei für alle stetigen $f:\partial G\to \mathbb {R}$ lösbar. Ist nun $\xi \in \partial G$ beliebig, so wählen wir $f(y):=|y-\xi |,y\in \partial G$ und lösen zu diesen Randwerten das Dirichletproblem (2). Für die harmonische Funktion $u=u(x):{\overline {G}}\to \mathbb {R}$ folgt nach dem Minimumprinzip

$u(x)>0$ für alle $x\in {\overline {G}}\setminus \{\xi \}$.

Somit ist $\xi$ ein regulärer Randpunkt.

„$\Leftarrow$“ Sei $G$ ein Dirichletgebiet und $x\in \partial G$ ein beliebiger, regulärer Randpunkt. Dann gibt es eine zugehörige superharmonische Funktion $\Phi (y)=\Phi (y;x):G\to \mathbb {R}$ gemäß Definition 2. Da $f:\partial G\to \mathbb {R}$ stetig ist, existiert zu vorgegebenem $\varepsilon >0$ ein $\delta =\delta (\varepsilon )>0$mit $|f(y)-f(x)|\leq \varepsilon$ für alle $y\in \partial G$ mit $|y-x|\leq \delta$. Wir erklären nun

$\eta (\varepsilon ):=\inf _{y\in \partial G \atop |y-x|\geq \delta (\varepsilon )}\Phi (y)>0.$

1. Die obere Barrierefunktion

$v^{+}(y):=f(x)+\varepsilon +(M-m){\frac {\Phi (y)}{\eta (\varepsilon )}},\quad y\in G$

sei gegeben. Offenbar ist $v^{+}$ superharmonisch in $G$. Ferner gilt für eine beliebige Folge $\{y^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots }\subset G$ mit $y^{(k)}\to y^{+}\in \partial G$ für $k\to \infty$

$\liminf _{k\to \infty }v^{+}(y^{(k)})\geq f(y^{+}).$

Also ist $v^{+}\in {\mathcal {M}}$ erfüllt.

2. Nun betrachten wir die untere Barrierefunktion

$v^{-}(y):=f(x)-\varepsilon -(M-m){\frac {\Phi (y)}{\eta (\varepsilon )}},\quad y\in G$

Sei $v\in {\mathcal {M}}$ beliebig gewählt. Für eine Folge $\{y^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots }\subset G$ mit $y^{(k)}\to y^{-}\in \partial G$ für $k\to \infty$ berechnen wir

$\liminf _{k\to \infty }\left(v(y^{(k)})-v^{-}(y^{(k)})\right)\geq \liminf _{k\to \infty }\left(v(y^{(k)})-f(y^{-})\right)+\liminf _{k\to \infty }\left(f(y^{-})-v^{-}(y^{(k)})\right)\geq 0.$

Weiter ist $v-v^{-}$ superharmonisch in $G$ und es gilt $v-v^{-}\geq 0$ in $G$ bzw.

$v(y)\geq v^{-}(y),\quad y\in G$

für alle $v\in {\mathcal {M}}$.

3. Für die harmonische Funktion

$u(y):=\inf _{y\in {\mathcal {M}}}v(y),\quad y\in G$

zeigen wir nun, dass $u$ stetig die Randwerte $f$ annimmt. Wegen 1. und 2. ist

$v^{-}(y)\leq u(y)\leq v^{+}(y)$ für alle $y\in G$

erfüllt, d. h. es gilt

$f(x)-\varepsilon -(M-m){\frac {\Phi (y)}{\eta (\varepsilon )}}\leq u(y)\leq f(x)+\varepsilon +(M-m){\frac {\Phi (y)}{\eta (\varepsilon )}},\quad y\in G.$

Beachten wir noch $\lim _{y\in G \atop y\to x}\Phi (y)=0$, so erhalten wir

$|f(x)-u(y)|\leq \varepsilon +(M-m){\frac {\Phi (y)}{\eta (\varepsilon )}}\leq 2\varepsilon$

für alle $y\in G$ mit $|y-x|\leq \delta ^{*}(\varepsilon )$. Somit folgt

$\lim _{y\in G \atop y\to x}u(y)=f(x).$

Also löst $u$ das Dirichletproblem (2) für die Randwerte $f$.

q.e.d.

Satz 4 (Poincarébedingung)

Ein Randpunkt $x\in \partial G$ ist regulär, wenn es eine Kugel $B_{r}(a)$ mit $a\in \mathbb {R} ^{n}$ und $r\in (0,+\infty )$ gibt, so dass ${\overline {G}}\cap {\overline {B_{r}(a)}}=\{x\}$ erfüllt ist. Insbesondere sind dann beschränkte Gebiete mit regulärem $C^{2}$-Rand Dirichletgebiete.

Beweis

Indem man für $n=2$ die in $G$ harmonische Funktion

$\Phi (y):=\log \left({\frac {|y-a|}{r}}\right),\quad y\in G$

und für $n\geq 3$ die harmonische Funktion

$\Phi (y):=r^{2-n}-|y-a|^{2-n},\quad y\in G$

betrachtet, folgt unmittelbar die Behauptung.

q.e.d.

§4 Die Theorie der Kugelfunktionen: Fourierreihen

Satz 1 (Fourierreihen)

Das System der Funktionen

${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},\quad {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\cos k\varphi ,\quad {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\sin k\varphi ,\quad \varphi \in [0,2\pi ],\quad k=1,2,\ldots$

bildet ein vollständiges Orthonormalsystem, kurz v. o. n. S., im Prä-Hilbertraum ${\mathcal {H}}:=C^{0}(S^{1},\mathbb {R} )$ ausgestattet mit dem in

(1) $(u,v):=\int \limits _{0}^{2\pi }u(e^{i\varphi })v(e^{i\varphi })\,d\varphi ,\quad u,v\in C^{0}(S^{1},\mathbb {R} )$

angegebenen inneren Produkt.

Beweis

1. Man rechnet leicht nach, dass das angegebene Funktionensystem ${\mathcal {S}}$ orthonormiert ist, d. h. $\|u\|=1$ für alle $u\in {\mathcal {S}}$ und $(u,v)=0$ für alle $u,v\in {\mathcal {S}}$ mit $u\neq v$. Es bleibt zu zeigen, dass dieses Orthonormalsystem von Funktionen vollständig im Prä-Hilbertraum ${\mathcal {H}}$ ist. Es ist zu zeigen, dass für jedes $u\in {\mathcal {H}}$ ihre zugehörige Fourierreihe diese Funktion bezüglich der Hilbertraumnorm $\|\cdot \|$ approximiert.

2. Sei also

$u=u(x)\in {\mathcal {H}}=C^{0}(S^{1},\mathbb {R} )$

beliebig gegeben. Wir setzen dann $u$ harmonisch in die Kreisscheibe

$B=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:|x|<1\}$

fort mittels

(2) $u(z)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {1-r^{2}}{|e^{i\varphi }-z|^{2}}}u(e^{i\varphi })\,d\varphi ,\quad |z|<1,$

wobei wir $z=re^{i\vartheta }$ gesetzt haben. Wir entwickeln nun den Poissonschen Kern wie folgt:

${\frac {1-r^{2}}{|e^{i\varphi }-z|^{2}}}={\frac {1-r^{2}}{|e^{i\varphi }-re^{i\vartheta }|^{2}}}={\frac {1-r^{2}}{|1-re^{i(\vartheta -\varphi )}|^{2}}}$

$={\frac {1-r^{2}}{(1-re^{i(\vartheta -\varphi )})(1-re^{i(\varphi -\vartheta )})}}=-1+{\frac {1}{1-re^{i(\varphi -\vartheta )}}}+1-re^{-i(\varphi -\vartheta )}$

$=-1+\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}e^{ik(\varphi -\vartheta )}+\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}e^{-ik(\varphi -\vartheta )}=1+2\sum _{k=1}^{\infty }r^{k}\cos k(\varphi -\vartheta ).$

Die Reihe konvergiert hierbei lokal gleichmäßig für $0\leq r<1$ und $\varphi ,\vartheta \in \mathbb {R}$. Nun gilt

$\cos k(\varphi -\vartheta )=\cos k\varphi \cos k\vartheta +\sin k\varphi \sin k\vartheta$

und wir erhalten mit $g(\varphi ):=u(e^{i\varphi }),\varphi \in [0,2\pi )$

$u(re^{i\vartheta })={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\left\{1+2\sum _{k=1}^{\infty }r^{k}{\Bigl (}\cos k\varphi \cos k\vartheta +\sin k\varphi \sin k\vartheta {\Bigr )}\right\}g(\varphi )\,d\varphi$

$={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }g(\varphi )\,d\varphi +\sum _{k=1}^{\infty }\left\{\left({\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }g(\varphi )\cos k\varphi \,d\varphi \right)r^{k}\cos k\vartheta +\left({\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }g(\varphi )\sin k\varphi \,d\varphi \right)r^{k}\sin k\vartheta \right\}.$

Wir setzen schließlich

(3) $a_{k}:={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }g(\varphi )\cos k\varphi \,d\varphi ,\quad k=0,1,2,\ldots$

und

(4) $b_{k}:={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }g(\varphi )\sin k\varphi \,d\varphi ,\quad k=1,2,\ldots .$

Damit erhalten wir in

(5) $u(re^{i\vartheta })={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigl (}a_{k}\cos k\vartheta +b_{k}\sin k\vartheta {\Bigr )}r^{k},\quad 0\leq r<1,0\leq \vartheta <2\pi$

die Fourierentwicklung einer in $|z|<1$ harmonischen Funktion.

3. Da $u(z)$ stetig in ${\overline {B}}$ ist, gibt es zu vorgegebenem $\varepsilon >0$ ein $r\in (0,1)$, so dass

(6) $|u(re^{i\vartheta })-g(\vartheta )|\leq \varepsilon$ für alle $\vartheta \in [0,2\pi )$

richtig ist. Weiter können wir ein $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ so wählen, dass

(7) $\left|{\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{N}r^{k}{\Bigl (}a_{k}\cos k\vartheta +b_{k}\sin k\vartheta {\Bigr )}-g(\vartheta )\right|\leq \varepsilon$ für alle $\vartheta \in [0,2\pi )$

erfüllt ist. Zu vorgegebenem $\varepsilon >0$ finden wir also reelle Koeffizienten $A_{0},\ldots ,A_{N}$ und $B_{1},\ldots ,B_{N}$, so dass für das trigonometrische Polynom

$F_{\varepsilon }(\vartheta ):=A_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigl (}A_{k}\sin k\vartheta +B_{k}\cos k\vartheta {\Bigr )},\quad 0\leq \vartheta <2\pi$

die Ungleichung

(8) $|F_{\varepsilon }(\vartheta )-g(\vartheta )|\leq 2\varepsilon$ für alle $\vartheta \in [0,2\pi )$

richtig ist. Wir erhalten damit

(9) $\|F_{\varepsilon }-g\|\leq 2{\sqrt {2\pi }}\varepsilon .$

Wegen der Minimaleigenschaft der Fourierkoeffizienten approximiert die zum angegebenen Funktionensystem zugehörige Fourierreihe die vorgegebene Funktion bezüglich der Hilbertraumnorm. Nun ist dieses Funktionensystem ein vollständiges Orthonormalsystem in ${\mathcal {H}}$.

q.e.d.

§5 Die Theorie der Kugelfunktionen in $n$ Variablen

Definition 1

Sei $H_{k}=H_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ eine harmonische Funktion auf der Menge $\mathbb {R} ^{n}:=\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$, welche homogen vom Grade $k$ ist, d. h.

$H_{k}(tx_{1},\ldots ,tx_{n})=t^{k}H(x_{1},\ldots ,x_{n})$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{n},\quad t\in (0,+\infty )$.

Dann heißt

$H_{k}=H_{k}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}):S^{n-1}\to \mathbb {R}$

eine $n$-dimensionale Kugelfunktion oder auch sphärisch harmonische Funktion vom Grade $k$; hierbei bezeichnet

$S^{n-1}:=\{\xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in \mathbb {R} ^{n}:\xi _{1}^{2}+\ldots +\xi _{n}^{2}=1\}$

die $(n-1)$-dimensionale Einheitssphäre im $\mathbb {R} ^{n}$.