Kurs:Funktionentheorie/Übungen/2. Zettel/Aufgabe 3

Aufgabe (Rechnen mit Polynomen, 5 Punkte)

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Wir betrachten ein Polynom  , gegeben durch

 

mit   und  . Zeige, dass sich   auch als Polynom in   und   darstellen lässt, indem Du die Koeffizienten in

 

angibst.

Für   ist  . Lösen wir das Gleichungssystem

 

nach   auf, erhalten wir   und  . Dies setzen wir in   ein, mit dem Binomialtheorem folgt

 

Nun führen wir eine Indextransformation durch, wir ersetzen die Summation über   durch eine Summation über  . Wegen   läuft   von   bis  . Für festes   müssen wir für   die Werte zwischen   und   betrachten, für die  , also   ist. Daher läuft   von   bis  . Wir erhalten

 

Nun tauschen wir die Summationsreihenfolge, es ist   und für festes   muss stets   gelten, d. h.  , wir erhalten

 

Nun noch eine letzte Indextransformation. Wir ersetzen   durch  .   läuft von   bis  . Für festes   ist  . Es sind also nur die Werte von   zulässig, für die   ist, d. h.   gilt. Wir erhalten

 

Also ist