Kurs:Funktionentheorie/Übungen/2. Zettel/Aufgabe 4

Aufgabe (Kettenregel, 5 Punkte)

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Seien   stetig differenzierbar. Beweise, dass

 

und

 

gelten.

Wir erinnern uns (Fischer/Lieb, Seite 21 unten): Für eine differenzierbare Funktion   sind die partiellen Ableitungen nach   und   wie folgt charakterisiert: Sind   stetige Funktionen mit

 

so ist   und  .

Diese Beschreibung der Wirtinger-Ableitungen wollen wir hier benutzen. Sei  . Da   in   differenzierbar ist, haben wir stetige Funktionen   so dass

 

gilt. Damit ist

 

Setze nun

 

Da   in   differenzierbar ist, existieren stetige Funktionen  ,   so, dass

 

Setzen wir ein, ergibt das

 

Da   und   als Komposition stetiger Funktionen stetig sind, ist   partiell differenzierbar und

 

Den letzten Term schauen wir uns noch einmal an. Wenn wir

 

konjugieren, erhalten wir

 

da die Konjugation ein Körperautomorphismus ist. Wir lesen ab, dass

  und  

Setzen wir oben fort, folgt damit

 

wie behauptet. Analog folgt