Lösung
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
- Das
Lemma von Goursat
(Quadratversion).
- Der Satz über die Offenheit von holomorphen Funktionen.
Lösung
- Es seien
,
,
Polynome und es sei
-
mit verschiedenen
. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom
und eindeutig bestimmte Koeffizienten
,
,
,
mit
-
- Es sei
eine
offene Menge,
eine
komplex differenzierbare
Funktion und sei
ein achsenparalleles abgeschlossenes Quadrat, und sei
-
der stetige stückweise lineare Weg, der den Rand von
gleichmäßig durchläuft.
Dann ist
-
![{\displaystyle {}\int _{\gamma }fdz=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32f23859343b24a496f27c8d751ab60a56edf3df)
- Es sei
eine nichtkonstante
holomorphe Funktion
auf einer
zusammenhängenden
offenen Teilmenge
.
Dann ist
offen.
a) Berechne
-
b) Bestimme das inverse Element
zu
-
![{\displaystyle {}z=3+4{\mathrm {i} }\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4575b0be08b35599a5331a4f52c35db721665c4)
c) Welchen Abstand hat
aus Teil (b) zum Nullpunkt?
Lösung
Lösung
Wir schreiben
-
![{\displaystyle {}f(z)=z^{2}+z+1={\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{4}}+1={\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}+{\frac {3}{4}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db26381ab90e2356158c0e01de01047d8a0614e5)
Die Bedingung
-
![{\displaystyle {}f(z)=f({\tilde {z}})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e69fa65d090eca6aa7372aaabb1a53e31e387bf)
wird zu
-
![{\displaystyle {}{\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}={\left({\tilde {z}}+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b50cb274d47ac6717eaaf94875151d58128e67d9)
bzw. zu
-
![{\displaystyle {}{\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}=\pm {\left({\tilde {z}}+{\frac {1}{2}}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb607cad44f84ab79c5d2fc065dc114e32ccd631)
Nicht injektiv
(auf einer Teilmenge)
bedeutet also die Existenz von
mit
-
![{\displaystyle {}{\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}=-{\left({\tilde {z}}+{\frac {1}{2}}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51bcf8481a42a4309a3d3c5027047deb1a4d2ea8)
bzw.
-
![{\displaystyle {}z+1=-{\tilde {z}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56bbf2f69de1b503cd6ce6d137e7a785e140180c)
- Sei
-
![{\displaystyle {}\vert {z}\vert <{\frac {1}{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/266b3d2adbc9e25ee2fa2274693483e499757b4a)
Dann liegt
-
![{\displaystyle {}\vert {\tilde {z}}\vert =\vert {z+1}\vert \geq {\frac {1}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aece05d8658d1dca63dd71df57c56b8f4f84cb28)
außerhalb der offenen Kreisscheibe.
- Sei
-
![{\displaystyle {}\vert {z}\vert ={\frac {1}{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb2fbbf544fb11718ac4570f7730c7bd90a0e0c)
Dann ist
außerhalb der abgeschlossenen Kreisscheibe mit der einzigen Ausnahme
-
![{\displaystyle {}z=-{\frac {1}{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f979e5e29ac16b8251ba31560cc0cf78d69f6b81)
Doch dann ist auch
-
![{\displaystyle {}{\tilde {z}}=-{\frac {1}{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec1d4c7866e7ac085bf9ee06646778854aa9f809)
Zeige, dass das Cauchy-Produkt von absolut konvergenten Reihen absolut gegen das Produkt der beiden Summen konvergiert.
Lösung
Wir müssen für die
Partialsummen
-
zeigen, dass
gegen den Limes der Folge
konvergiert. Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {z_{n}-x_{n}y_{n}}\vert &=\vert {\sum _{k=0}^{n}c_{k}-{\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}\right)}{\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}\right)}}\vert \\&=\vert {\sum _{0\leq i,j\leq n,\,i+j>n}a_{i}b_{j}}\vert \\&\leq \sum _{0\leq i,j\leq n,\,i+j>n}\vert {a_{i}}\vert \vert {b_{j}}\vert \\&\leq {\left(\sum _{n/2<i\leq n}\vert {a_{i}}\vert \right)}{\left(\sum _{j=0}^{n}\vert {b_{j}}\vert \right)}+{\left(\sum _{n/2<j\leq n}\vert {b_{j}}\vert \right)}{\left(\sum _{i=0}^{n}\vert {a_{i}}\vert \right)}\\&\leq {\left(\sum _{n/2<i\leq n}\vert {a_{i}}\vert \right)}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }\vert {b_{j}}\vert \right)}+{\left(\sum _{n/2<j\leq n}\vert {b_{j}}\vert \right)}{\left(\sum _{i=0}^{\infty }\vert {a_{i}}\vert \right)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab307f234a8fd9cf49285342d81a580837f88044)
Da die beiden Reihen absolut konvergieren, und
und
nach
Aufgabe 9.27 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
Nullfolgen
sind, ist die rechte Seite insgesamt eine Nullfolge. Daher konvergiert die Folge
nach
Aufgabe 6.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
gegen das Produkt der Grenzwerte der beiden Reihen.
Die absolute Konvergenz folgt aus dem bisher Bewiesenen mit dem
Majorantenkriterium
aus der Abschätzung
.
Es sei
ein
Körper
und sei
-
ein
surjektiver
Gruppenhomomorphismus
mit
für alle
.
Zeige, dass
-
![{\displaystyle {}R={\left\{f\in K^{\times }\mid \nu (f)\geq 0\right\}}\cup \{0\}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7db360b19492e807744b43e53de00731d6f6772c)
ein
diskreter Bewertungsring
ist.
Lösung
Zuerst zeigen wir, dass
ein Unterring des Körpers
ist. Es ist
.
Da
ein Gruppenhomomorphismus ist, muss
sein. Für Elemente
ist
und damit
,
da ein Gruppenhomomorphismus vorliegt, und ebenso
-
![{\displaystyle {}\nu (f+g)\geq \operatorname {min} \left(\nu (f),\,\nu (g)\right)\geq 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5f6c28bcc536433249becb1d69c8a108846f72e)
nach Voraussetzung, so dass
multiplikativ und additiv abgeschlossen ist. Ferner ist
,
woraus aber
und somit
folgt. Also gehören auch die Negativen zu
, und somit liegt ein kommutativer Ring vor.
Weiterhin muss
ein lokaler Ring sein. Wir behaupten, dass
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {m}}:={\left\{f\in K^{\times }\mid \nu (f)\geq 1\right\}}\cup \{0\}\subseteq R\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6b4fcee7dc1189ced6cc2c94e2c594eeac1cb08)
das einzige maximale Ideal ist. Die
gehört dazu und wegen
ist die Menge additiv abgeschlossen. Für
und
ist
und
und daher
,
so dass die Menge abgeschlossen unter Skalarmultiplikation ist. Also liegt ein Ideal vor.
Das Komplement
besteht aus allen Elementen
mit
.
Dann ist aber auch
und damit
,
d.h. diese Elemente sind alle Einheiten. Daher ist
maximal.
Wir müssen noch zeigen dass ein diskreter Bewertungsring vorliegt. Es sei hierzu
ein Element mit
,
was es wegen der vorausgesetzten Surjektivität gibt. Wir wollen zeigen, dass
prim ist. Es gilt generell, dass
ein Vielfaches von
(
)
ist genau dann, wenn
ist, da ja die Teilbarkeitsbeziehung zu
äquivalent ist. Aus
mit
,
folgt nun
und dann muss
oder
sein, so dass eines ein Vielfaches von
ist. Also ist
prim.
Mit dem gleichen Argument folgt, dass jedes Element
mit
assoziiert zu
ist. Es liegt also ein Hauptidealbereich mit genau den Idealen
und
,
,
vor.
Wir betrachten die
Differentialform
-
![{\displaystyle {}\omega =ydx+zdy+xdz\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c589514c7e17dd3e825d45b266391f872fffaa9e)
auf dem
und die Abbildung
-
- Berechne die äußere Ableitung von
.
- Berechne den Rückzug
von
unter
.
- Berechne die äußere Ableitung von
auf
.
- Berechne den Rückzug
von
unter
unabhängig von (3).
Lösung
- Es ist
-
![{\displaystyle {}d\omega =d{\left(ydx+zdy+xdz\right)}=dy\wedge dx+dz\wedge dy+dx\wedge dz=-dx\wedge dy-dy\wedge dz+dx\wedge dz\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed3953c7c98d7a42998b5634d86195a7fa02b83)
- Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi ^{*}\omega &=v^{2}du^{2}+uvdv^{2}+u^{2}duv\\&=2v^{2}udu+2uv^{2}dv+u^{2}(udv+vdu)\\&={\left(2uv^{2}+u^{2}v\right)}du+{\left(2uv^{2}+u^{3}\right)}dv.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2debe7b706811c787775d8dd83fd34306a1d3cf)
- Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}d{\left({\left(2uv^{2}+u^{2}v\right)}du+{\left(2uv^{2}+u^{3}\right)}dv\right)}&=d{\left(2uv^{2}+u^{2}v\right)}du+d{\left(2uv^{2}+u^{3}\right)}dv\\&={\left(4uv+u^{2}\right)}dv\wedge du+{\left(2v^{2}+3u^{2}\right)}du\wedge dv\\&={\left(-4uv+2v^{2}+2u^{2}\right)}du\wedge dv.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b5dbacc86400118dd157f0d19feab7a9fc39df)
- Der Rückzug
ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi ^{*}{\left(-dx\wedge dy-dy\wedge dz+dx\wedge dz\right)}&=-du^{2}\wedge dv^{2}-dv^{2}\wedge duv+du^{2}\wedge duv\\&=-4uvdu\wedge dv-2v^{2}dv\wedge du+2u^{2}du\wedge dv\\&={\left(-4uv+2v^{2}+2u^{2}\right)}du\wedge dv.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eefb7f35e3af28dd65e829fc4a454e2388f8de7)
Bestimme die Maxima von
auf
.
Lösung
Aufgrund von
Korollar 14.11 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))
müssen wir nur den Rand der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe betrachten. Diesen können wir trigonometrisch parametrisieren und davon das Wachstumsverhalten untersuchen. Es ist
-
![{\displaystyle {}\vert {z-1}\vert =\vert {x-1+y{\mathrm {i} }}\vert ={\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea6c4c9e281e828c4d51295e6825bdb8838cbe8)
Statt dieser Wurzelfunktion können wir direkt den Radikanden betrachten. Es ist
-
![{\displaystyle {}(x-1)^{2}+y^{2}=x^{2}-2x+1+y^{2}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21371b4917cab6724bad92dc0f8be838d27851d0)
die Parametrisierung führt auf
-
![{\displaystyle {}\cos ^{2}t-2\cos t+1+\sin ^{2}t=2-2\cos t\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed5341de03c432030e9d5d5ca225ff96d50602cd)
Aufgrund des Funktionsverlaufs der Kosinusfunktion wird das Maximum für
(also in
)
angenommen.
Bestimme den
lokalen Exponenten
von
-
in jedem Punkt
.
Lösung
Beweise den Satz von Casorati-Weierstrass.
Lösung
Es liege eine wesentliche Singularität vor, wobei wir
annehmen können. Nehmen wir an, dass es eine Ballumgebung
derart gibt, dass das Bild der punktierten Ballumgebung nicht dicht ist. Dann gibt es einen Punkt
und eine Ballumgebung
, die disjunkt zum Bild ist. Wir betrachten die holomorphe Funktion
-
die ja wohldefiniert ist, da
gilt. Ferner folgt daraus, dass
auf der offenen Menge
ist. Daher ist aber nach
Satz 14.5 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))
nach
holomorph fortsetzbar. Eine Umstellung der definierenden Gleichung für
ergibt
-
![{\displaystyle {}f(z)={\frac {1}{h(z)}}+b\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3817c9747676c957a67c3b0fbc6da5095ed29075)
woraus folgt, dass
in
eine hebbare Singularität oder einen Pol besitzt, jedenfalls keine wesentliche Singularität.
Von (2) nach (1) ist im hebbaren Fall klar und ergibt sich im Fall eines Poles aus
Lemma 17.5 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)).
Lösung
- Es ist
-
![{\displaystyle {}f(x)=\exp \left(h{\left(\ln x\right)}\right)=\exp \left(c\ln x\right)=x^{c}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c519b2b45d3f504b6c32f9d4c4947ca1f6c1046)
- Es ist unter Verwendung der Funktionalgleichungen für Logarithmus und Exponentialfunktion und da
ungerade ist,
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}f{\left({\frac {1}{x}}\right)}&=\exp \left(h{\left(\ln \left({\frac {1}{x}}\right)\right)}\right)\\&=\exp \left(h{\left(-\ln x\right)}\right)\\&=\exp \left(-h{\left(\ln x\right)}\right)\\&={\frac {1}{\exp \left(h{\left(\ln x\right)}\right)}}\\&={\frac {1}{f(x)}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a67885d1d90b0a79c6297dd1129d102875ddae3)
Bestimme das
Residuum
im Nullpunkt von
-
,
-
.
Lösung
Lösung
Wir betrachten
-
![{\displaystyle {}A={\left\{(x,y)\mid x,y\geq 0{\text{ oder }}x,y\leq 0\right\}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6be3efb5e58cb90e3514eb9a7cd222a9ea84f6f)
also die Vereinigung des ersten abgeschlossenen Quadranten und des dritten abgeschlossenen Quadranten. Diese Menge ist
sternförmig
bezüglich des Nullpunktes und daher einfach zusammenhängend nach
Lemma 20.7 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)).
Sie ist nicht homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe. Wenn man aus
den Nullpunkt herausnimmt, so entsteht eine nicht
zusammenhängende
Menge, dagegen bleibt die abgeschlossene Menge zusammenhängend, wenn man einen Pukt herausnimmt.
Lösung
Es sei die Funktionenmenge
lokal beschränkt. Dann sind insbesondere die Bilder
,
,
beschränkt
in
. Wir möchten
Fakt *****
anwenden, dazu ist lediglich noch zu zeigen, dass die Funktionenmenge
gleichgradig stetig
ist. Es sei
und sei
derart, dass die Funktionenfamilie auf
durch die Konstante
beschränkt
sei. Es sei
eine
Standardumrundung
um
mit dem Radius
. Dann gelten für
nach
Satz 13.7 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)),
Korollar 13.5 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))
und
Lemma 12.10 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))
die von
unabhängigen Abschätzungen
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {f(Q)-f(P)}\vert &=\vert {{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-Q}}dz-{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-P}}dz}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-Q}}-{\frac {f(z)}{z-P}}dz}\vert \\&={\frac {1}{2\pi }}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)(Q-P)}{(z-Q)(z-P)}}dz}\vert \\&={\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {\vert {Q-P}\vert }{r}}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-Q)}}dz}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {\vert {Q-P}\vert }{r}}\cdot 2\pi r\cdot C{\frac {1}{r-\vert {P-Q}\vert }}\\&={\frac {C}{r-\vert {P-Q}\vert }}\vert {Q-P}\vert .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e583f742629502bd5081e853a2c03ca84eb5608)
Zu gegebenem
kann man dann mit
-
![{\displaystyle {}\delta :=\operatorname {min} \left({\frac {r}{2C}}\epsilon ,\,{\frac {r}{2}}\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23610cda9c35915436037259ce239f5f820bbad6)
die gleichgradige Stetigkeit nachweisen.