Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip
Einleitung Bearbeiten
Das Maximumprinzip ist eine Aussage über holomorphe Funktionen aus dem Kurs:Funktionentheorie. Der Betrag einer holomorphen Funktion kann im Inneren des Definitionsbereiches keine echten lokalen Maxima annehmen. Genauer besagt es die folgende Aussage.
Aussage Bearbeiten
Es sei ein Gebiet, holomorph. Hat in ein
lokales Maximum, so ist konstant.
Ist beschränkt und auf stetig fortsetzbar, so nimmt sein Maximum auf an.
Zum Beweis benötigen wir ein Lemma, das die Folgerung lokal trifft
Lemma Bearbeiten
Es sei offen, holomorph. Sei eine lokale Maximalstelle von . Dann ist auf einer Umgebung von konstant.
Beweis des Lemmas 1 Bearbeiten
Es sei so gewählt, dass für alle gilt. Die Cauchy-Integralformel liefert für alle , dass
Damit kann man die folgende Abschätzung zeigen:
Beweis des Lemmas 2 Bearbeiten
Man erhält die folgende Abschätzung:
Beweis des Lemmas 3 Bearbeiten
Daraus folgt, dass es sich bei der -Abschätzung um echte Gleichungkette handelt und somit
.
Beweis des Lemmas 4 Bearbeiten
Damit erhalten wir die Konstanz von über die Eigenschaft:
- für alle ,
d.h. ist auf konstant.
Beweis des Lemmas 5 Bearbeiten
Wenn auf konstant ist, dann muss auch konstant sein mit einer Konstante .
Beweis des Lemmas 6 Bearbeiten
Wegen holomorph auf ist gelten die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen für
und es gilt
Beweis des Lemmas 7 Bearbeiten
Ist und und Anwendung der Kettenregel auf die partiellen Ableitungen erhält man die beiden Gleichungen
- und
Mit CR-DGL und ersetzen wird die partiellen Ableitung von durch partielle Ableitungen von und erhalten (Faktor 2 kann entfallen):
- und
Beweis des Lemmas 8 Bearbeiten
Wir quadrieren die beiden Gleichungen
und addieren diese beiden quadrierten Gleichungen danach zu:
Beweis des Lemmas 9 Bearbeiten
Durch Ausklammern von und erhält man:
Damit folgt mit den reellwertigen Realteil- bzw. Imaginärteilfunktionen im Produkt:
Beweis des Lemmas 10 Bearbeiten
- Mit folgt da und reellwertig sind und damit gilt .
- folgt und und damit ist nach den Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen auch
Insgesamt ist also konstant auf .
Beweis Bearbeiten
Es sei eine lokale Maximalstelle von in dem Gebiet . sei die Menge alle die auf abbilden (Niveaumenge).
Beweis 1: V abgeschlossen Bearbeiten
Da stetig ist, sind Urbilder von offenen Mengen offen und Urbilder von abgeschlossenen Menge abgeschlossen (in der Relativtopologie in ). Da die Menge abgeschlossen ist, ist abgeschlossen in .
Beweis 2: V offen Bearbeiten
Nach dem Lemma lässt sich die auch als Vereinigung von offen Kreischreiben darstellen und Vereinigungen von beliebigen offenen Mengen wieder offen.
Beweis 3: Zusammenhang Bearbeiten
Also ist wegen des Zusammenhangs von ,
d. h. ist konstant.
Beweis 4: G beschränkt Bearbeiten
Ist beschränkt, so ist kompakt, also nimmt die stetige Funktion auf ihr Maximum an, etwa an der Stelle . Ist , so ist nach obigem Lemma auf konstant und damit auf konstant, also nimmt sein Maximum auch auf an. Anderenfalls ist und wir sind fertig.
Siehe auch Bearbeiten
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