Rechenoperationen 3. Stufe
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Zu den Rechenoperationen der dritten Stufe gehören Potenzieren , Wurzelziehen (Radizieren) und Logarithmieren .
Natürliche Exponenten
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Für natürliche Zahlen
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
z
=
r
e
i
φ
{\displaystyle z=r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }}
z
n
=
r
n
⋅
e
i
n
φ
=
r
n
⋅
(
cos
n
φ
+
i
⋅
sin
n
φ
)
{\displaystyle z^{n}=r^{n}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\varphi }=r^{n}\cdot (\cos n\varphi +\mathrm {i} \cdot \sin n\varphi )}
(siehe den Satz von de Moivre ) oder für die algebraische Form
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+b\,\mathrm {i} }
binomischen Satzes zu
z
n
=
∑
k
=
0
,
k
gerade
n
(
n
k
)
(
−
1
)
k
2
a
n
−
k
b
k
+
i
∑
k
=
1
,
k
ungerade
n
(
n
k
)
(
−
1
)
k
−
1
2
a
n
−
k
b
k
.
{\displaystyle z^{n}=\sum _{k=0, \atop k{\text{ gerade}}}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{\frac {k}{2}}a^{n-k}b^{k}+\mathrm {i} \sum _{k=1, \atop k{\text{ ungerade}}}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}a^{n-k}b^{k}.}
Wurzeln aus komplexen Zahlen
Der komplexe natürliche Logarithmus ist (anders als der reelle ) nicht eindeutig. Eine komplexe Zahl
w
{\displaystyle w}
z
{\displaystyle z}
e
w
=
z
.
{\displaystyle \mathrm {e} ^{w}=z.}
Mit
w
{\displaystyle w}
w
+
2
m
π
i
{\displaystyle w+2m\pi \mathrm {i} }
m
∈
Z
{\displaystyle m\in \mathbb {Z} }
z
{\displaystyle z}
Hauptwerten , d. h. mit Werten eines bestimmten Streifens der komplexen Ebene.
Der Hauptwert des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl
z
=
r
e
i
ϕ
{\displaystyle z=re^{\mathrm {i} \phi }}
mit
r
>
0
{\displaystyle r>0}
−
π
<
ϕ
≤
π
{\displaystyle -\pi <\phi \leq \pi }
ln
z
=
ln
r
+
i
ϕ
.
{\displaystyle \ln z=\ln r+\mathrm {i} \phi .}
Anders formuliert: Der Hauptwert des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl
z
{\displaystyle z}
ln
z
=
ln
|
z
|
+
i
Arg
(
z
)
,
{\displaystyle \ln z=\ln |z|+\mathrm {i} \,\operatorname {Arg} (z),}
wobei
Arg
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {Arg} (z)}
Arguments von
z
{\displaystyle z}
Die endlichen Untergruppen
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Alle Elemente einer endlichen Untergruppe der multiplikativen Einheitengruppe
C
×
=
C
∖
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}}
Einheitswurzeln . Unter allen Ordnungen von Gruppenelementen gibt es eine maximale, etwa
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
zyklisch ist und genau aus den Elementen
exp
(
2
π
i
k
n
)
,
k
=
0
,
1
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle \exp \left({2\pi \mathrm {i} k \over n}\right),\quad k=0,1,\dotsc ,n-1}
besteht. Alle Elemente liegen auf dem Einheitskreis .
