Definition

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Es sei   ein Zyklus in  , und   ein Punkt, den   nicht trifft. Dann heißt

 

die Umlaufzahl von   um  .

Motivation

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Betrachten wir zunächst den Fall, dass   nur aus einer einzelnen geschlossenen Kurve besteht, dann ist   in   homolog zu einem  -fach (für ein  ) durchlaufenen Kreis   um   mit  . Nun ist

 

zählt dieses Integral, wie oft die Kurve   den Punkt   umläuft.

Sei der geschlossene Integrationweg   wie folgt definiert:

 
  • Zeichnen/plotten Sie die Spur des Integrationsweges.
  • Geben Sie die Umlaufzahl für   an.
  • Geben Sie die Umlaufzahl für   an.
  • Geben Sie die Umlaufzahl für   an.

Additivität des Integrals

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Für einen Zyklus   mit geschlossenen   ist wegen der Additivität des Integrals gerade

 

also zählt die Umlaufzahl auch hier, wie oft der Punkt   umlaufen wird.

Länge des Zyklus

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Für einen Zyklus   mit geschlossenen   wird die Länge des Zyklus additiv über die Länge der einzelnen Integrationswege definiert.

 

Siehe auch

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