Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Maße als stetige lineare Funktionen
Einführung Bearbeiten
In der Lernressource betrachtet man ein Maß als stetige lineare Funktion auf Funktionenräumen von einem topologischen Vektorraum nach . Dabei besitzt der Funktionenraum selbst ebenfalls eine Topologie und ist mit ein topologisischer Vektorraum.
Multiplikation auf dem Funktionenraum Bearbeiten
Ist auf dem Funktionenraum zusätzliche ein Multiplikation definiert (z.B. die Faltung von Funktionen), so verlangt man, dass diese Multiplikation bzgl. der Topologie eine stetige innere Verknüpfung auf ist.
Topologische Gruppe Bearbeiten
Den Defintionbereich wird im weiteren Verlauf durch eine topologische Gruppe ersetzt, wobei die Inversenbildung und die innere Verknüpfung auf stetige Abbildungen sind.
Stetigkeit von linearen Abbildung Bearbeiten
In normierten Räumen liefert der Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen eine Kriterium, die Stetigkeit über Normabschätzungen bzw. durch Abschätzungen mit Gaugefunktionalen zu überprüfen. Maßen sind im Folgenden stetige lineare Abbildungen auf topologisierten Funktionenräumen.
Definition - Maß auf topologischen Räumen Bearbeiten
Sei ein topologischer Raum und ein topologisischer Vektorraum über und der Funktionenraum zusammen mit einer Topologie ebenfalls ein topologisischer Vektorraum über der Körper . Ein stetiges lineares Funktional auf dem Funktionenraum heißt Maß auf .
Linerarität Bearbeiten
Das Maß ist linear, wenn gilt:
- (Homogenität) für alle und
- (Additivität) für alle
Notation Bearbeiten
Die Integralnotation, die aus der Analysis und Wahrscheinlichkeitstheorie bekannt ist, wird verwendet, wenn der Wertebereich des Funktionenraumes der Körper ist und mit dem Betrag zu einem topologischen Raum wird.
Integrable Funktion Bearbeiten
Ein Funktion heißt -integrabel (bzw. integrabel), wenn gilt.
Gegenbeispiel Bearbeiten
Ist die Indikatorfunktion der rationalen Funktion in mit für und für und ist das Riemannintegral als lineare Funktion auf dem Funktionenraum, so ist nicht -integrabel.
Maß von Mengen Bearbeiten
Ist der Wertebereich des Funktionenraumes der Körper . In einem solchen Fall kann man auch das Maß von einer Menge über definieren, wenn die Indikatorfunktion mit für und für eine integrable Funktion ist, d.h. ist.
Wahrscheinlichkeitsmaß von Mengen Bearbeiten
Für ein Wahrscheinlichkeitsmaß müssen bezogen auf eine -Algebra noch weitere Eigenschaften für das Wahrscheinlichkeitsmaß gelten. Dabei ist das Wahrscheinlichkeitsmaß in Wahrscheinlichkeitstheorie nicht auf einem Funktionenraum definiert, sondern auf der -Algebra als Definitionsbereich (z.B. die Borelsche -Algebra , die als Erzeugendensystem die Topologie verwendet).
Zusammenhang - Wahrscheinlichkeitsmaß und Maß auf topologischen Räumen Bearbeiten
Für ein Wahrscheinlichkeitsmaß und gibt die Wahrscheinlichkeit der Menge an. Man stellt nun als Indikatorfunktion dar und verwendet eine Wahrscheinlichkeitsdichte , kann man die Wahrscheinlickeit einer Menge als Maß auf einem Funktionenraum ausdrücken:
Bemerkung - Notation dx Bearbeiten
Beim Riemann-Integral kennt man die Notation in
In der Analysis ist dabei aus dem Kontext klar, welches Integral als Maß gemeint ist. In Anlehnung an die Integralnotation aus der Analysis ergänzt man zu , um in der Integralnotation das verwendete Maß als lineare stetige Funktion zu erkennen.
Maße in der Wahrscheinlichkeittheorie Bearbeiten
In der Wahrscheinlichkeitstheorie ein Maß auf dem Messraum . Das Maß hat also als Definitionsbereich ein Mengensystem und mit dem Satz von Radon-Nikodým ist eine bezüglich integrierbare oder quasiintegrierbare messbare Funktion, so wird durch
- für alle ,
ein signiertes Maß auf definiert.
Notation für das verwendete Maß Bearbeiten
Die Notation in bzw. : , welche dominierende Maß für die Dichtefunktion verwendet (z.B. Lebesgueintegral oder Riemann-Integral)
Maße auf Funktionenräumen Bearbeiten
In der Maßtheorie auf topologischen Räumen operiert das Maß auf einem Funktionenraum und ordnet den Funktionen ein Wert zu (z.B. das Riemann-Integral über ein Intervall . Die integrablen Funktionen unterscheiden sich bzgl. des Riemann-Integral und des Lebesgueintegrals.
Beispiele für Maße auf Funktionenräumen Bearbeiten
Sei der Funktionenraum der stetigen Funktionen auf . mit ein normierter Raum. Wir betrachten nun mit die Abbildung:
Aufgabe 1 Bearbeiten
Zeigen Sie, dass die oben definierte Abbildung
ein Maß auf einem Funktionenraum ist!
Aufgabe 2 Bearbeiten
Zeigen Sie, dass die oben definierte Abbildung
ein kein Maß auf einem Funktionenraum ist! Dabei sei wie folgt definiert: .
Hinweis zu Aufgabe 2 Bearbeiten
Die Abbildung ist zwar linear aber nicht mehr stetig wie in Aufgabe 1. Betrachten Sie dazu die folgende Animation einer Funktionenfolge mit für alle .
Animation zu Aufgabe 2 Bearbeiten
In der Animation wurde gewählt und wenden Sie den Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen auf normierten Räumen an!
Aufgabe 3 - Messen an unterschiedlichen Stellen Bearbeiten
In der Praxis kennt man von einer Funktion nicht notwendigerweise die Funktionsvorschrift und damit den gesamten Graphen. Durch Messungen an den Stellen kennt lediglich einzelne Funktionswerte. Übertragen auf Nachhaltigkeitsfragen gibt die Funktion zum Zeitpunkt für mit die Mengen der emittierten Schadstoffe an. Nun wollen wir entscheiden bzgl. der Messstellen, ob sich die Gesamtemission von Schadstoffen von zu verbessert hat. Definieren Sie dazu ein Maß, dass z.B. den Vergleich erlaubt.
Aufgabe 4 - Messen auf Teilflächen des Grundraum Bearbeiten
Wir betrachten nun Funktionen der Form
Auf Teilflächen des Rechtecks (hier ebenfalls Rechtecke) wurde die Emission von Treibhaushgasen gemessen. Außerhalb dieser Messflächen ist die durch definiert Emission nicht bekannt. ist dabei die Dichtefunktion der Emission pro Flächeneinheit.
Aufgabe 4.1 Bearbeiten
Definieren Sie ein Maß, das für eine Teilfläche die mittlere Emissions pro Teilfläche angibt!
Aufgabe 4.2 Bearbeiten
Definieren Sie ein Maß, das auf Basis der Emissiondaten aus den Teilflächen, die hochgerechnet Emission für den gesamten Grundraum angibt.
Aufgabe 4.3 Bearbeiten
Können Sie auch ein Gütekriterium für ein Maß angeben, dass dabei hilft, die Güte der Vorhersage für die Gesamtemission abzuschätzen?
Aufgabe 4.4 Bearbeiten
Kann man für Aufgabe 4.3. auch ein Maß definieren, das Indikatorfunktionen verwendet und die Güte über angibt?
Siehe auch Bearbeiten
Seiteninformation Bearbeiten
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