Lösung
- Man nennt die Menge
-
![{\displaystyle {}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d5c2beafa55e8a77710fd3241d5893e2b1b6f8)
die Produktmenge der Mengen
und
.
- Zu einer komplexen Zahl
nennt man
den Realteil von
.
- Eine reelle Folge
heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Zu jedem
,
,
gibt es ein
derart, dass für alle
die Beziehung
-
![{\displaystyle {}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76350c876975e8af1e8b252412122a8521dccf7)
gilt.
- Die eulersche Zahl ist durch
-
![{\displaystyle {}e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315535235aeeff2af888bc026eb54212c79c7d0e)
definiert.
- Zur
unteren Treppenfunktion
-
von
zur Unterteilung
,
,
und den Werten
,
,
heißt
-
![{\displaystyle {}S:=\sum _{i=1}^{n}s_{i}{\left(a_{i}-a_{i-1}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105d8ec26699cde8c244a5486444c0542575c7fd)
ein unteres Treppenintegral von
auf
.
- Unter dem Rang einer linearen Abbildung
versteht man
-
![{\displaystyle {}\operatorname {rang} \,\varphi =\operatorname {dim} _{}\left(\operatorname {bild} \varphi \right)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1238bd946ca5397732bf7b0ee17ec582d75b5c05)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Das
Quetschkriterium
für reelle Folgen.
- Der Satz über die lineare Approximierbarkeit.
- Der Satz über die Lösungsmenge zu einem linearen Gleichungssystem in Dreiecksgestalt über einem Körper
.
Lösung
- Es seien
und
reelle Folgen. Es gelte
-
und
und
konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert
. Dann konvergiert auch
gegen diesen Grenzwert
.
- Sei
eine Teilmenge,
ein Punkt und
-
eine Funktion. Dann ist
in
genau dann differenzierbar, wenn es ein
und eine Funktion
-
gibt mit
stetig in
und
und mit
-
![{\displaystyle {}f(x)=f(a)+s\cdot (x-a)+r(x)(x-a)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b689303574f9aeef8084dd688a06c3f01d9a3c2)
- Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper
in Dreiecksgestalt
-
gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente alle ungleich
seien. Dann stehen die Lösungen
in Bijektion zu den Tupeln
.
Lösung
In der Flasche befindet sich
-
![{\displaystyle {}0{,}5\,\mathrm {L} \cdot 0{,}05=0{,}025\,\mathrm {L} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2533f85067b1f8f7f0ef01a6f79b075794bf8f1a)
Alkohol. Somit gehen
-
![{\displaystyle {}0{,}025\,\mathrm {L} \cdot 0{,}1=0{,}0025\,\mathrm {L} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc3f635e3785651547d4eb52add81325a9a4f75)
in sein Blut. Der Anteil ist daher
-
![{\displaystyle {}{\frac {0{,}0025}{5}}=0{,}0005\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc19aea1e7eb97f2979c130ffec4874c5ea36bfa)
Das sind
Prozent bzw.
Promille.
Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.
Lösung
Berechne die Gaußklammer von
.
Lösung
Es ist
-
und
-
daher ist
-
![{\displaystyle {}-45\leq -{\frac {133}{3}}<-44\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c452a4be387de3a2be18dfe75518b7a550075b45)
also ist
-
![{\displaystyle {}\left\lfloor -{\frac {133}{3}}\right\rfloor =-45\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71829473968b0981923fa178a3bf694b2dee2c8)
Zeige, dass für positive natürliche Zahlen
die Beziehung
-
![{\displaystyle {}a^{(n^{k})}=\underbrace {{\left({\left(\ldots {\left({\left(a^{n}\right)}^{n}\right)}^{n}\ldots \right)}^{n}\right)}^{n}} _{k{\text{ Potenzierungen}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14ff3e52d6e7d5d9e8f70fd4d79e26df3f4ad2e0)
gilt.
Lösung
Bestimme die
-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome
-
![{\displaystyle {}P=X^{3}+4X^{2}-7X+1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56980d62364ce753947cf4a76ee6c3fa9931db19)
und
-
![{\displaystyle {}Q=X^{3}-2X^{2}+5X+3\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42c6741931126ae001b3313bf7cc94fe8365f424)
Lösung
Ein Schnittpunkt liegt genau dann an den Stellen
vor, die eine Nullstelle von
sind. Es ist
-
![{\displaystyle {}P-Q=X^{3}+4X^{2}-7X+1-{\left(X^{3}-2X^{2}+5X+3\right)}=6X^{2}-12X-2\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/981d330069b1e43b331d02a7d854129418fb3938)
Wir normieren dieses quadratische Polynom und erhalten die Bedingung
-
![{\displaystyle {}X^{2}-2X-{\frac {1}{3}}=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2221a124a9b5b7763b06700358a48345662ca8cd)
Die Lösungen dafür sind
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {2\pm {\sqrt {4+{\frac {4}{3}}}}}{2}}\\&={\frac {2\pm {\sqrt {\frac {16}{3}}}}{2}}\\&={\frac {2\pm 4{\sqrt {\frac {1}{3}}}}{2}}\\&=1\pm 2{\sqrt {\frac {1}{3}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/852e717a8fb98644cf96aaed87a65a519fed4fa1)
Dies sind die
-Koordinaten der beiden Schnittpunkte.
Lösung
Wir setzen
-
![{\displaystyle {}b:={\frac {\vert {a_{n-1}}\vert +\cdots +\vert {a_{1}}\vert +\vert {a_{0}}\vert }{a_{n}}}+1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d31b9d1e665bca6b0f352c1a661703bb09ce3db)
Dann gelten für
die Abschätzungen
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}P(x)&=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\\&\geq a_{n}x^{n}-\vert {a_{n-1}}\vert x^{n-1}-\cdots -\vert {a_{2}}\vert x^{2}-\vert {a_{1}}\vert x-\vert {a_{0}}\vert \\&\geq a_{n}x^{n}-\vert {a_{n-1}}\vert x^{n-1}-\cdots -\vert {a_{2}}\vert x^{n-1}-\vert {a_{1}}\vert x^{n-1}-\vert {a_{0}}\vert x^{n-1}\\&=a_{n}x^{n}-{\left(\vert {a_{n-1}}\vert +\cdots +\vert {a_{2}}\vert +\vert {a_{1}}\vert +\vert {a_{0}}\vert \right)}x^{n-1}\\&={\left(a_{n}x-{\left(\vert {a_{n-1}}\vert +\cdots +\vert {a_{2}}\vert +\vert {a_{1}}\vert +\vert {a_{0}}\vert \right)}\right)}x^{n-1}\\&\geq {\left(a_{n}{\left({\frac {\vert {a_{n-1}}\vert +\cdots +\vert {a_{1}}\vert +\vert {a_{0}}\vert }{a_{n}}}+1\right)}-{\left(\vert {a_{n-1}}\vert +\cdots +\vert {a_{2}}\vert +\vert {a_{1}}\vert +\vert {a_{0}}\vert \right)}\right)}x^{n-1}\\&=a_{n}x^{n-1}\\&>0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dfdedaff59c481fc664ba619fb970ec2194884d)
Lösung
Lösung
Lösung
Lösung
- Wir lösen die biquadratische Gleichung, indem wir mit
multiplizieren und
setzen. Es ist
-
![{\displaystyle {}y^{2}-12y+24={\left(y-6\right)}^{2}-36+24={\left(y-6\right)}^{2}-12=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5188af7c861821917e3d91e5244b7ff258d1b65d)
zu lösen, also ist
-
![{\displaystyle {}y_{1,2}=\pm {\sqrt {12}}+6\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a346063826961c010f27a0ee1d56ead71b5982)
Dies ist in jedem Fall positiv und die kleinere Lösung ist
-
![{\displaystyle {}y=6-{\sqrt {12}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17553c14f25a93a176647815fcd7f5555b1dbf88)
Somit ist
-
![{\displaystyle {}x={\sqrt {6-{\sqrt {12}}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99fe257e97f6e676bf2f3fcfc0d5d069935b2549)
die kleinste Nullstelle des Ausgangspolynoms.
- Da die Kosinusreihe gleich
ist, handelt es sich bei dem angegebenen Polynom um eine polynomiale Approximation der Kosinusfunktion. Da
die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist, besteht ein gewisser Zusammenhang zwischen den beiden Zahlen.
Lösung
Die Kreisgleichung ist
-
![{\displaystyle {}(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=16\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5a11dbb3e75ad3e98ca72a89e255ab30da08c4)
Wir lösen die Geradengleichung nach
auf und erhalten
-
![{\displaystyle {}y=3x-1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1afdfcb9d279f041fe7b27b6ef91ae5eb322a0d7)
Dies setzen wir in die Kreisgleichung ein und erhalten
-
![{\displaystyle {}(x+2)^{2}+(3x-4)^{2}=x^{2}+4x+4+9x^{2}-24x+16=16\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad2e5f5730bd24fda15b5b1a66ca6e02613ae1a7)
also
-
![{\displaystyle {}10x^{2}-20x+4=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25056f2a161bc6622f3b909b0a3fc1f0a9c4af5b)
bzw.
-
![{\displaystyle {}x^{2}-2x+{\frac {2}{5}}=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2fe2b3b97bf15184e4c16fc169442aa6f6cfd94)
Somit ist
-
![{\displaystyle {}x={\frac {2\pm {\sqrt {4-4\cdot {\frac {2}{5}}}}}{2}}={\frac {2\pm {\sqrt {\frac {12}{5}}}}{2}}={\frac {2\pm 2{\sqrt {\frac {3}{5}}}}{2}}=1\pm {\sqrt {\frac {3}{5}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/217c4872a14cc3f1a7c6882c9735216a343724f4)
Bei
-
![{\displaystyle {}x_{1}=1+{\sqrt {\frac {3}{5}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2871f40dbe601e8357634674925b52565541ae0)
ist
-
![{\displaystyle {}y_{1}=3{\left(1+{\sqrt {\frac {3}{5}}}\right)}-1=2+3{\sqrt {\frac {3}{5}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebe94c126bd0c3cf5e008bb823c3e9b521cc3725)
der erste Schnittpunkt ist also
-
![{\displaystyle {}P_{1}=\left(1+{\sqrt {\frac {3}{5}}},\,2+3{\sqrt {\frac {3}{5}}}\right)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8f33b8731de1bbdf8cd707c836bb2aa8c0ecd44)
Bei
-
![{\displaystyle {}x_{2}=1-{\sqrt {\frac {3}{5}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b268d7dc0a8aedc5dc2a2e409f5a9af4fecb3e0f)
ist
-
![{\displaystyle {}y_{2}=3{\left(1-{\sqrt {\frac {3}{5}}}\right)}-1=2-3{\sqrt {\frac {3}{5}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5257b6f6f1d74692d1c8548573dffa4c91eabd83)
der zweite Schnittpunkt ist also
-
![{\displaystyle {}P_{2}=\left(1-{\sqrt {\frac {3}{5}}},\,2-3{\sqrt {\frac {3}{5}}}\right)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3afc18fdc37fd4a8a04c74a8be917fe7406ef142)
Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.
Lösung
Wir gehen von
-
![{\displaystyle {}f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d8e5719f01bb2908781b5780aa174e849b9b26)
und
-
![{\displaystyle {}g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f38aa82a197bb157951afdc6004d4d87f93edf)
aus, wobei die Bedingungen aus der linearen Approximierbarkeit erfüllt sein sollen, und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}f(x)g(x)&=(f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a))(g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a))\\&=f(a)g(a)+(sg(a)+{\tilde {s}}f(a))(x-a)\\&\,\,\,\,\,+(f(a){\tilde {r}}(x)+g(a)r(x)+s{\tilde {s}}(x-a)+s{\tilde {r}}(x)(x-a)+{\tilde {s}}r(x)(x-a)+r(x){\tilde {r}}(x)(x-a))(x-a).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a4ea48f054b326c6cfcffc8e21ee372507e29e)
Aufgrund von
[[Funktion/K/Grenzwert/Epsilon/Rechenregeln/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Funktion/K/Grenzwert/Epsilon/Rechenregeln/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
für
Limiten
ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert
für
.
Bestimme den Flächeninhalt der Fläche, die oberhalb des Intervalls
von der
-Achse und dem Graphen der Funktion
-
![{\displaystyle {}f(x)={\frac {1}{x\ln x}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f92c8a1b1ef07c52b2529d32ea3c43a0966671)
eingeschlossen wird.
Lösung
Löse das
inhomogene Gleichungssystem
-
Lösung
Wir eliminieren zuerst die Variable
, indem wir die zweite von der ersten Gleichung subtrahieren. Dies führt auf
-
Nun eliminieren wir die Variable
, indem wir die zweite Gleichung mit der dritten Gleichung addieren. Dies führt auf
-
Mit
ergibt sich
-
![{\displaystyle {}-21y=-11\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81978ebe4a0357afe9ef4b90487c9ccb615ba95b)
und
-
![{\displaystyle {}y={\frac {11}{21}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/689b589a138cf900c32371aaba947624164d9e2f)
Rückwärts gelesen ergibt sich
-
![{\displaystyle {}z=-{\frac {2}{21}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3024d99f7f9d79815b1bad9504de37e181728f5e)
-
![{\displaystyle {}x={\frac {17}{7}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd0ea8f5a0ce3f5101ff80cd28c677528ee0443e)
und
-
![{\displaystyle {}z=-{\frac {95}{21}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65f3be0aea6132b0c3a51a8088d4e84c4dee333b)
Bestimme die
Dimension
des von den Vektoren
-
erzeugten
Untervektorraumes
des
.
Lösung
Die Summe der vier Vektoren ist
-
![{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\3\\3\\3\end{pmatrix}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e74856d79db9cce1b34beb4db9b733d72fa9c6)
Daher gehört
zu dem von den Vektoren erzeugten Untervektorraum. Daher gehören auch die Differenzen
-
![{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9871c8688305da19b7cacff0253164c1ffa978a0)
-
![{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d9ecc2fa9112b03e51e7908345bff9a9f28d78)
-
![{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9c46a5469ad797ee6fc69e2afcac167f9635191)
und
-
![{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/184f0216441c1c60539781b217499fa64d692dfe)
also die Standardvektoren, zu dem erzeugten Untervektorraum. Daher wird der ganze
erzeugt und die Dimension ist
.
Bestimme die
Determinante
von
-
über dem Körper
.
Lösung
Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}{\frac {x^{2}-5}{x+3}}&{\frac {x^{3}-7}{2x}}\\{\frac {x^{2}+1}{x^{2}-4x}}&{\frac {3x^{2}-x}{x^{2}-3}}\end{pmatrix}}&={\frac {x^{2}-5}{x+3}}\cdot {\frac {3x^{2}-x}{x^{2}-3}}-{\frac {x^{3}-7}{2x}}\cdot {\frac {x^{2}+1}{x^{2}-4x}}\\&={\frac {x{\left(3x^{3}-x^{2}-15x+5\right)}}{x^{3}+3x^{2}-3x-9}}-{\frac {x^{5}+x^{3}-7x^{2}-7}{2x^{2}(x-4)}}\\&={\frac {x^{3}(2x-8){\left(3x^{3}-x^{2}-15x+5\right)}-{\left(x^{5}+x^{3}-7x^{2}-7\right)}{\left(x^{3}+3x^{2}-3x-9\right)}}{2x^{2}(x-4){\left(x^{3}+3x^{2}-3x-9\right)}}}\\&={\frac {2x^{3}{\left(3x^{4}-13x^{3}-11x^{2}+65x-20\right)}-{\left(x^{8}+3x^{7}-2x^{6}-13x^{5}-24x^{4}+5x^{3}+42x^{2}+21x+63\right)}}{2x^{2}{\left(x^{4}-x^{3}-15x^{2}+3x+36\right)}}}\\&={\frac {-x^{8}+3x^{7}-24x^{6}-9x^{5}+154x^{4}-45x^{3}-42x^{2}-21x-63}{2x^{6}-2x^{5}-30x^{4}+6x^{3}+72x^{2}}}.\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe0d2d31573f7d306be1fd4fad32b794869bbd5)
Lösung
Es sei
-
![{\displaystyle {}n=\operatorname {dim} _{}\left(V\right)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcee77ea9f5959b6df3995628b7b843014e1ed24)
Wir nehmen an, dass es unendlich viele Eigenwerte gibt. Dann gibt es insbesondere
Eigenwerte
-
und zugehörige Eigenvektoren
-
Nach
Lemma 27.14 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
sind diese
linear unabhängig,
das widerspricht aber
dem Basisaustauschsatz.