Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Dimensionsformel für lineare Abbildungen.
- Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
- Der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen.
- Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Zeige durch vollständige Induktion, dass für jedes
die Zahl
-
ein Vielfaches von ist.
Drücke in den Vektor
-
als
Linearkombination
der Vektoren
-
aus.
Es geht darum, das lineare Gleichungssystem
-
zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der dritten Gleichung die Variable aus der ersten Gleichung. Das resultierende System ist
()
-
Wir eliminieren nun aus mittels
die Variable , das ergibt
()
-
Wir können jetzt dieses System lösen. Es ist
-
-
und
-
Also ist
-
Bestimme den
Kern
der
linearen Abbildung
-
Es geht darum, das lineare Gleichungssystem
-
zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der ersten Gleichung die Variable . Das resultierende System ist
(,
)
-
Wir eliminieren nun aus
mittels
die Variable
, das ergibt
()
-
Wir können jetzt dieses System lösen, wobei
die anderen Variablen eindeutig festlegt. Es sei
.
Dann ist
.
Damit ist
-
Schließlich ist
-
Die Lösungsmenge, also der Kern, ist somit
-
Bestimme, für welche die Matrix
-
invertierbar
ist.
Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ist. Die Determinante der Matrix ist
Dies ist gleich bei oder bei . Diese quadratische Gleichung ist äquivalent zu bzw. zu
-
Also ist
-
und damit
-
Die einzigen komplexen Zahlen, bei denen die Matrix nicht invertierbar ist, sind also
-
Die Familie sei zunächst eine Basis. Dann ist sie insbesondere ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir , aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also kein Erzeugendensystem mehr ist. Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, so wäre insbesondere als
Linearkombination
der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte
-
Dann ist aber
-
eine nichttriviale Darstellung der , im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie.
Es sei nun die Familie ein minimales Erzeugendensystem. Um zu zeigen, dass eine Basis vorliegt, muss also lediglich gezeigt werden, dass die Familie linear unabhängig ist. Nehmen wir an, sie sei nicht linear unabhängig. Dann gibt es eine Darstellung
-
wobei mindestens ein Koeffizient ist. Wir behaupten, dass dann auch die um reduzierte Familie noch ein Erzeugendensystem ist im Widerspruch zur Minimalität. Dazu sei ein beliebiger Vektor, den man als
-
schreiben kann. Wir können schreiben als
-
Damit ist
woraus ablesbar ist, dass man auch als Linearkombination der darstellen kann.
Entscheide, ob die
Folge
-
in
konvergiert
und bestimme gegebenenfalls den
Grenzwert.
Zeige, dass die
Reihe
-
konvergiert.
Wir zeigen, dass die Reihe
absolut konvergiert, woraus nach
Fakt *****
die Konvergenz folgt. Wegen
-
ist
-
Die Reihe konvergiert nach
Beispiel *****,
so dass nach dem
Majorantenkriterium
konvergiert.
a) Die Funktion ist differenzierbar und die Ableitung ist
-
Für
sind diese beiden Summanden positiv, so dass die Ableitung stets positiv ist und daher streng wachsend ist. Daher ist die Abbildung injektiv. Die Funktion ist stetig, da sie differenzierbar ist. Daher genügt es für die Surjektivität, aufgrund des Zwischenwertsatzes, nachzuweisen, dass beliebig große und beliebig kleine Werte angenommen werden.
Für
ist
und daher
-
Da der Logarithmus für beliebig kleine Werte annimmt, gilt das auch für .
Für
ist
und daher
-
Da der Logarithmus für beliebig große Werte annimmt, gilt das auch für .
b) Durch Einsetzen ergibt sich
,
also ist
das Urbild von . Aufgrund der Berechnung der Ableitung oben ist
.
Aufgrund der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt daher
-
Betrachte die Funktion
-
Bestimme die
Nullstellen
und die lokalen (globalen)
Extrema
von . Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.
Da die Exponentialfunktion keine Nullstelle besitzt, liegt nur bei
,
also bei
eine Nullstelle vor. Unterhalb davon ist die Funktion negativ, oberhalb davon positiv.
Zur Bestimmung der lokalen Extrema leiten wir ab, was zu
-
führt. Die Nullstellenbestimmung der Ableitung führt auf
-
Quadratisches Ergänzen führt zu
-
bzw.
-
Also ist
-
und somit
-
Für
ist die Ableitung negativ, für mit
ist sie positiv und für
wieder negativ. Daher ist die Funktion unterhalb von streng fallend, zwischen
und
streng wachsend und oberhalb von wieder streng fallend. Daher liegt in ein isoliertes lokales Minimum und in ein isoliertes lokales Maximum vor. Da es sonst keine lokalen Extrema gibt, und die Funktion für wächst, aber negativ bleibt, und für fällt, aber positiv bleibt, sind dies auch globale Extrema.
Die erste Ableitung ist
-
Die zweite Ableitung
ist
-
Die dritte Ableitung ist
-
Die vierte Ableitung ist
-
Das Taylor-Polynom vom Grad ist demnach
-
bzw.
-
Es seien
-
zwei
differenzierbare Funktionen.
Es sei . Es gelte
-
Zeige, dass
-
Wir betrachten die Hilfsfunktion
-
Nach den Voraussetzungen ist differenzierbar, es ist
und es ist
für alle
.
Wir müssen zeigen, dass
für alle
ist. Nehmen wir also an, dass es ein
mit
gibt. Aufgrund des
Mittelwertsatzes
gibt es ein
mit
-
Da diese Zahl negativ ist, ergibt sich ein Widerspruch.
Berechne das bestimmte Integral zur Funktion
-
über .
Eine Stammfunktion ist
-
Daher ist das bestimmte Integral gleich
Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung
-
mit
und .
Es liegt eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen vor. Wir setzen
-
davon ist
-
eine Stammfunktion. Die Umkehrfunktion davon ist ebenfalls
-
Wir setzen weiter
-
Wir machen den Ansatz für die Partialbruchzerlegung, also
-
Daraus ergibt sich die Bedingung
-
und daraus
-
Also ist
-
eine Stammfunktion von . Daher ist
-
eine Lösung, die für
definiert ist und für die
gilt.
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