Kurs:Mathematik fuer Anwender/Eigenwerte und Eigenvektoren

Eigenwerte und Eigenvektoren

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Wir untersuchen die Abundanz einer Art in zwei verschiedenen (miteinander vernetzten) Biotopen.

Ein Vektor   soll beschreiben, dass im ersten Biotop   Individuen und im zweite Biotop   Individuen vorkommen.
In jedem Jahr wandern   der Individuen vom ersten Biotop ins zweite Biotop und   der Individuen vom zweiten Biotop ins erste.
So kann die Wanderung der Individuen durch die lineare Abbildung, die durch die Matrix   definiert wird, dargestellt werden.

Kann sich ein “Gleichgewicht” zwischen den Biotopen einstellen? Gibt es also eine bestimmte Aufteilung   zwischen den beiden Biotopen, die im folgenden Jahr, und damit für immer, konstant bleibt?

Diese Fragestellung kann durch die Untersuchung von sogenannten Eigenwerten und Eigenvektoren beantwortet werden.

Definition: Eigenwert und Eigenvektor

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Es sei   eine lineare Abbildung und   die zugehörige Matrix. Ist   nicht der Nullvektor und   derart, dass   gilt, so heißt   Eigenvektor und   Eigenwert der linearen Abbildung   oder der Matrix  .

Bemerkung: Eigenwert und Eigenvektor

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Das heißt also, dass   ein Vektor ist, der auf ein geeignetes Vielfaches (dieses geeignete Vielfache ist der Eigenwert  ) von sich selbst abgebildet wird. Den Nullvektor schließen wir als Eigenvektor aus, da er unter einer linearen Abbildung stets auf sich selbst abgebildet wird, also ein Eigenvektor zu jeder reellen Zahl wäre. Damit wäre jede reelle Zahl ein Eigenwert und wir hätten nichts Tolles definiert.

In unserem obigen Beispiel suchen wir einen Eigenvektor zum Eigenwert   der Matrix  .

Es gibt noch viele weitere Anwendungsmöglichkeiten, in denen Eigenwerte eine Rolle spielen.

Bei Wikipedia werden folgende praktische Beispiele aufgelistet:

http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem

Aber wie können wir Eigenwerte oder Eigenvektoren bestimmen?

Definition: Charakteristisches Polynom

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Es sei   eine lineare Abbildung und   die zugehörige Matrix.
Wir nennen das Polynom   das charakteristische Polynom von   bzw. von  .
Erinnerung:   ist die  -Einheitsmatrix.

Satz: Charakteristisches Polynom und Eigenwert

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Es sei   eine lineare Abbildung und   die zugehörige Matrix.

Genau dann ist   ein Eigenwert, wenn   Nullstelle vom charakteristischen Polynom   ist.

Haben wir durch dieses Verfahren einen Eigenwert gefunden, so brauchen wir “nur noch” ein lineares Gleichungssystem lösen.

Satz: Bestimmung der Eigenvektoren

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Es sei   eine lineare Abbildung und   die zugehörige Matrix. Ferner sei   ein Eigenwert von  .
Genau dann ist   ein Eigenvektor von   zum Eigenwert  , wenn   eine Lösung des linearen Gleichungssystems   ist.

Beweis: Eigenvektoren und Lösung des LGS

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Es gilt für alle   mit  :

   

  ist Lösung des linearen Gleichungssystems  .

Verfahren zum Bestimmen von Eigenwerten und Eigenvektoren

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Es sei   eine lineare Abbildung und   die zugehörige Matrix.

Wir suchen sowohl die Eigenwerte als auch passende Eigenvektoren der Matrix  .

  • Zuerst bestimmen wir  .
  • Dann berechnen wir die Eigenwerte, in dem wir die Nullstellen des Polynoms   bestimmen.
  • Für jeden Eigenwert   lösen wir das lineare Gleichungssystem   Die Lösungsmenge (ohne den Nullvektor) entspricht der Menge der Eigenvektoren von   zum Eigenwert  .


Achtung!
Wir betrachten die lineare Abbildung   mit Matrix  . Das ist die Drehung um den Winkel  , die wir schon zuvor betrachtet haben. Gibt es einen Vektor, der bei dieser Drehung auf ein Vielfaches von sich abgebildet wird? Offenbar nur der Nullvektor, der aber als Eigenvektor ausgeschlossen wurde. Damit gibt es keinen Eigenvektor und damit auch keinen (reellen) Eigenwert. Was sagt das obige Verfahren zu diesem Problem?
Das charakteristische Polynom ist   und hat keine reellen Nullstellen. Also stimmt das Verfahren mit der geometrischen Anschauung überein und wir halten fest: Nicht jede lineare Abbildung hat auch Eigenwerte. Zumindest nicht in  !