Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Fake News in Sozialen Medien/Mathematische Grundlagen Zyklus 3

Mathematische Grundlagen für Zyklus 3

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Lagrange Interpolation

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  • Stützpunkte xi, yi i = 1,...,n sind gegeben
  • geeignete Kurve für beliebige Funktionswerte zwischen kleinster und größter Stützstelle
  • Newton-Interpolation: erfolgt schrittweise ⇒ für unsere Modellierung zu aufwendig
  • Lagrange-Interpolation: direkte Berechnung des langen Interpolationspolynom

Interpolationsploynom = Summe der einzelnen Langrangepolynomen

  • Formel für das Lagrangepolynom:

  ,

  • Formel für das Interpolationspolynom:

  

Aufbau von Matrizen

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  • Matrizen = eine rechteckige, geordnete Zusammenfassung von reellen Zahlen

→ einzelne Elemente einer Matrix = Koeffizienten

m x n Matrix = m Zeilen und n Spalten

m x n Matrix hat Dimension m x n

  • besondere Matrizen:

Quadratische Matrix: m=n

Nullmatrix: alle Koeffizienten = 0.

  • allgemeine Formel:   

Aufbau von Vektoren

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  • Vektoren = eine geordnete Zusammenfassung von reellen Zahlen

→ einzelne Elemente = Komponenten

→ nur eine Spalte und m Zeilen

m-dimensionaler Vektor = m Komponenten

  • besondere Vektoren:

Nullvektor: alle Komponenten = 0

→ Vektor = Spezialfall von Matrizen

  • allgemeine Formel:   

Rechnen mit einem Skalar

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  • Multiplikation von Vektoren mit einem Skalar:

→ jede Komponente des Vektors wird mit dem Skalar   multipliziert

  

  • Skalar mal Matrix:

→ jedes Element von A wird mit dem Skalar   multipliziert

  

Rechnen mit Matrizen und Vektoren

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1. Schritt

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  • Matrix mal Vektor

→ Überprüfung, ob Spaltenzahl der Matrix mit Zahl der Komponenten des Vektors übereinstimmt

→ erste Zeile von Matrix A: einzelne Einträge dieser Zeile werden mit den jeweils entsprechenden Einträgen des Vektors multipliziert

Bilden der Summe der Ergebnisse der Multiplikationen ⇒ erste Komponente

  

2. Schritt

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→ zweite Zeile von Matrix A: Rechnung der zweiten Komponente analog

 

→ Wiederholung dieser Rechnung bis zum Ergebnisvektor:

 

Rechnen mit Matrizen

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1. Schritt

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  • Matrix mal Matrix

→ Überprüfung, ob Spaltenzahl Matrix A mit Zeilenzahl Matrix B übereinstimmt

→ erste Zeile von Matrix A: einzelne Einträge dieser Zeile werden mit den jeweils entsprechenden Spalteneinträgen der Matrix B multipliziert

Bilden der Summe der Ergebnisse der Multiplikationen ⇒ erster Koeffizient

  

2. Schritt

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→ nächster Koeffizienten der Ergebnismatrix in der ersten Zeile und zweiten Spalte: erste Zeile von A und zweite Spalte von B werden multipliziert

Bilden der Summe der Multiplikationen

 

→ Weitere Koeffizienten der ersten Zeile: Rechnung analog

 

3. Schritt

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→ Dies wird für jede weitere Zeile wiederholt bis das Matrizenprodukt A*B die Ergebnismatrix ergibt.

 

Summenzeichen

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  • Addition von mehreren Zahlen =   (Sigma)
  • der Laufindex k: Variable, über die die Summe läuft
  • der Startwert i: kleinster Wert des Laufindex k, die untere Grenze
  • der Endwert n: größter Wert des Laufindex k, die obere Grenze
  • allgemeine Formel:  
  • Sprich: Die Summe über   von k=i bis n.



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