Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare elliptische Systeme/Dirichletproblem für nichtlineare elliptische Systeme
- Seien
und
mit
gewählt. Dann gibt es eine Konstante
, so dass für alle Lösungen des Problems
(1)
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathfrak {z}}={\mathfrak {z}}(u,v)\in C^{2}(B)\cap C^{1}({\overline {B}}),\\\Delta {\mathfrak {z}}(u,v)={\mathfrak {G}}(w,{\mathfrak {z}}(w),\nabla {\mathfrak {z}}(w))\ f{\ddot {u}}r\ alle\ w\in B,\\{\mathfrak {z}}(w)=0\ f{\ddot {u}}r\ alle\ w\in \partial B\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c2484365e72651c67c4d1b0c463ae17f9bac4f)
- die folgende Abschätzung gilt:
![{\displaystyle \|{\mathfrak {z}}\|_{C^{1+\alpha }({\overline {B}},\mathbb {R} ^{n})}\leq C_{1}(a,M,\alpha ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d456d49e7ee9b974d5de5d4556acb27b5553eb44)