- Die Funktion
genüge den Ungleichungen
(1)
für alle ![{\displaystyle w\in B,\quad {\mathfrak {x}},{\mathfrak {y}}\in \mathbb {R} ^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f515e9ec4f34fb8433aebbad74103197df5705)
- und
seien zwei Lösungen des H-Flächensystems
(2)
![{\displaystyle {\mathfrak {x}}={\mathfrak {x}}(u,v)\in C^{2}(B,\mathbb {R} ^{3})\cap C^{0}({\overline {B}},\mathbb {R} ^{3}),\quad \Delta {\mathfrak {x}}(u,v)=2H(w,{\mathfrak {x}}(w)){\mathfrak {x}}_{u}\wedge {\mathfrak {x}}_{v},\quad w\in B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e49b586e97bf872f5ba52dcef1a4f278548ef5)
- Wir setzen
(3)
![{\displaystyle F(u,v):={\frac {|{\mathfrak {x}}(u,v)-{\mathfrak {y}}(u,v)|^{2}}{(M^{2}-|{\mathfrak {x}}(u,v)|^{2})(M^{2}-|{\mathfrak {y}}(u,v)|^{2})}},\quad (u,v)\in {\overline {B}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa19ba9bc05d228b236508ee84b88f8087a56b9)
- Dabei gelte
für alle
mit
![{\displaystyle M={\frac {\sqrt {h_{0}^{2}+2h_{1}}}{h_{0}^{2}+h_{1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62931288770f7a2f13887082fe836f7635d0855b)
- Behauptung: Dann genügt
der linearen, elliptischen Differentialgleichung
in
.
Satz 2 (Geometrisches Maximumprinzip von E. Heinz)
Bearbeiten
- Sei die Funktion
eine Lösung der Differentialgleichung
(4)
![{\displaystyle |\Delta {\mathfrak {x}}(u,v)|\leq a|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2},\quad (u,v)\in B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef7e8f8ea091dcf04c2465ed881fe05956230baf)
- Die Kleinheitsbedingung
(5)
![{\displaystyle |{\mathfrak {x}}(u,v)|\leq M,\quad (u,v)\in B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6131f520fcee6bfbc781503704d625dfb5f3d1ae)
- sei erfüllt und es gelte
(6)
für die Konstanten
.
- Behauptung: Dann folgt
![{\displaystyle \sup _{(u,v)\in B}|{\mathfrak {x}}(u,v)|\leq \sup _{(u,v)\in \partial B}|{\mathfrak {x}}(u,v)|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/602d2b1a6ea83ae9e82178b9a6c9ea79fa3afd39)
Die Hilfsfunktion
genügt der Differentialungleichung
![{\displaystyle \Delta f(u,v)=2{\Bigl (}|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}+{\mathfrak {x}}(u,v)\cdot \Delta {\mathfrak {x}}(u,v){\Bigr )}\geq 2{\Bigl (}|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}-|{\mathfrak {x}}(u,v)||\Delta {\mathfrak {x}}(u,v)|{\Bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13dbdb9c9ff852660702457802cd7695d78445b3)
![{\displaystyle \geq 2{\Bigl (}|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}-a|{\mathfrak {x}}(u,v)||\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}{\Bigr )}\geq 2|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}(1-aM)\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a29b4b14db022acac79b566a65291850c71aae1)
in
![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
.
Das Maximumprinzip für subharmonische Funktionen liefert die Behauptung.
q.e.d.
- Die Funktion
genüge (1) und wir setzen
![{\displaystyle M:={\frac {\sqrt {h_{0}^{2}+2h_{1}}}{h_{0}^{2}+h_{1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c78fa9cfe9897dd620a5872cdc219fd88e0b4528)
- Weiter seien
zwei Lösungen des H-Flächensystems (2) mit
(7)
für alle
.
- Zusätzlich gelte
und
.
- Behauptung: Dann haben wir für alle
die Ungleichung
(8)
![{\displaystyle {\frac {|{\mathfrak {x}}(w)-{\mathfrak {y}}(w)|^{2}}{(M^{2}-|{\mathfrak {x}}(w)|^{2})(M^{2}-|{\mathfrak {y}}(w)|^{2})}}\leq {\frac {\|{\mathfrak {x}}-{\mathfrak {y}}\|_{C^{0}(\partial B)}^{2}}{(M^{2}-\|{\mathfrak {x}}\|_{C^{0}(\partial B)}^{2})(M^{2}-\|{\mathfrak {y}}\|_{C^{0}(\partial B)}^{2})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68ca01e354bf4b51814c1e607d16ad54833e17f4)
Wir wollen auf die Funktionen
und
das geometrische Maximumprinzip mit
anwenden. Dazu bemerken wir, dass
genau dann gilt, wenn
![{\displaystyle {\frac {h_{0}^{2}(h_{0}^{2}+2h_{1})}{(h_{0}^{2}+h_{1})^{2}}}\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3956747f0a67f1c1ec00f2f17df78d2c7d74ffb9)
bzw.
richtig ist und letzteres ist offenbar immer erfüllt. Satz 2 liefert also
![{\displaystyle \|{\mathfrak {x}}\|_{C^{0}({\overline {B}})}\leq \|{\mathfrak {x}}\|_{C^{0}(\partial B)}<M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a5e390bb1f513162ee736f2321e8bbb88fe161)
und
![{\displaystyle \|{\mathfrak {y}}\|_{C^{0}({\overline {B}})}\leq \|{\mathfrak {y}}\|_{C^{0}(\partial B)}<M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e93603ecb439508249db42e41060cf9db85d5a6a)
Auf die Hilfsfunktion
aus Satz 1 wenden wir nun das Hopfsche Maximumprinzip an und erhalten (8).
- Die Funktion
genüge den Ungleichungen
(1)
für alle ![{\displaystyle w\in B,\quad {\mathfrak {x}},{\mathfrak {y}}\in \mathbb {R} ^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f515e9ec4f34fb8433aebbad74103197df5705)
- und
seien zwei Lösungen des H-Flächensystems
(2)
![{\displaystyle {\mathfrak {x}}={\mathfrak {x}}(u,v)\in C^{2}(B,\mathbb {R} ^{3})\cap C^{0}({\overline {B}},\mathbb {R} ^{3}),\quad \Delta {\mathfrak {x}}(u,v)=2H(w,{\mathfrak {x}}(w)){\mathfrak {x}}_{u}\wedge {\mathfrak {x}}_{v},\quad w\in B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e49b586e97bf872f5ba52dcef1a4f278548ef5)
- Wir setzen
(3)
![{\displaystyle F(u,v):={\frac {|{\mathfrak {x}}(u,v)-{\mathfrak {y}}(u,v)|^{2}}{(M^{2}-|{\mathfrak {x}}(u,v)|^{2})(M^{2}-|{\mathfrak {y}}(u,v)|^{2})}},\quad (u,v)\in {\overline {B}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa19ba9bc05d228b236508ee84b88f8087a56b9)
- Dabei gelte
für alle
mit
![{\displaystyle M={\frac {\sqrt {h_{0}^{2}+2h_{1}}}{h_{0}^{2}+h_{1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62931288770f7a2f13887082fe836f7635d0855b)
- Behauptung: Dann genügt
der linearen, elliptischen Differentialgleichung
in
.
Satz 2 (Geometrisches Maximumprinzip von E. Heinz)
Bearbeiten
- Sei die Funktion
eine Lösung der Differentialgleichung
(4)
![{\displaystyle |\Delta {\mathfrak {x}}(u,v)|\leq a|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2},\quad (u,v)\in B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef7e8f8ea091dcf04c2465ed881fe05956230baf)
- Die Kleinheitsbedingung
(5)
![{\displaystyle |{\mathfrak {x}}(u,v)|\leq M,\quad (u,v)\in B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6131f520fcee6bfbc781503704d625dfb5f3d1ae)
- sei erfüllt und es gelte
(6)
für die Konstanten
.
- Behauptung: Dann folgt
![{\displaystyle \sup _{(u,v)\in B}|{\mathfrak {x}}(u,v)|\leq \sup _{(u,v)\in \partial B}|{\mathfrak {x}}(u,v)|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/602d2b1a6ea83ae9e82178b9a6c9ea79fa3afd39)
Die Hilfsfunktion
genügt der Differentialungleichung
![{\displaystyle \Delta f(u,v)=2{\Bigl (}|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}+{\mathfrak {x}}(u,v)\cdot \Delta {\mathfrak {x}}(u,v){\Bigr )}\geq 2{\Bigl (}|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}-|{\mathfrak {x}}(u,v)||\Delta {\mathfrak {x}}(u,v)|{\Bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13dbdb9c9ff852660702457802cd7695d78445b3)
![{\displaystyle \geq 2{\Bigl (}|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}-a|{\mathfrak {x}}(u,v)||\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}{\Bigr )}\geq 2|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}(1-aM)\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a29b4b14db022acac79b566a65291850c71aae1)
in
![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
.
Das Maximumprinzip für subharmonische Funktionen liefert die Behauptung.
q.e.d.
- Die Funktion
genüge (1) und wir setzen
![{\displaystyle M:={\frac {\sqrt {h_{0}^{2}+2h_{1}}}{h_{0}^{2}+h_{1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c78fa9cfe9897dd620a5872cdc219fd88e0b4528)
- Weiter seien
zwei Lösungen des H-Flächensystems (2) mit
(7)
für alle
.
- Zusätzlich gelte
und
.
- Behauptung: Dann haben wir für alle
die Ungleichung
(8)
![{\displaystyle {\frac {|{\mathfrak {x}}(w)-{\mathfrak {y}}(w)|^{2}}{(M^{2}-|{\mathfrak {x}}(w)|^{2})(M^{2}-|{\mathfrak {y}}(w)|^{2})}}\leq {\frac {\|{\mathfrak {x}}-{\mathfrak {y}}\|_{C^{0}(\partial B)}^{2}}{(M^{2}-\|{\mathfrak {x}}\|_{C^{0}(\partial B)}^{2})(M^{2}-\|{\mathfrak {y}}\|_{C^{0}(\partial B)}^{2})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68ca01e354bf4b51814c1e607d16ad54833e17f4)
Wir wollen auf die Funktionen
und
das geometrische Maximumprinzip mit
anwenden. Dazu bemerken wir, dass
genau dann gilt, wenn
![{\displaystyle {\frac {h_{0}^{2}(h_{0}^{2}+2h_{1})}{(h_{0}^{2}+h_{1})^{2}}}\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3956747f0a67f1c1ec00f2f17df78d2c7d74ffb9)
bzw.
richtig ist und letzteres ist offenbar immer erfüllt. Satz 2 liefert also
![{\displaystyle \|{\mathfrak {x}}\|_{C^{0}({\overline {B}})}\leq \|{\mathfrak {x}}\|_{C^{0}(\partial B)}<M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a5e390bb1f513162ee736f2321e8bbb88fe161)
und
![{\displaystyle \|{\mathfrak {y}}\|_{C^{0}({\overline {B}})}\leq \|{\mathfrak {y}}\|_{C^{0}(\partial B)}<M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e93603ecb439508249db42e41060cf9db85d5a6a)
Auf die Hilfsfunktion
aus Satz 1 wenden wir nun das Hopfsche Maximumprinzip an und erhalten (8).
q.e.d.