Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare elliptische Systeme/Maximumprinzipipien für das H-Flächensystem

Satz 1 (Jägersches Maximumprinzip)

Bearbeiten
Die Funktion genüge den Ungleichungen
(1) für alle
und seien zwei Lösungen des H-Flächensystems
(2)
Wir setzen
(3)
Dabei gelte für alle mit
Behauptung: Dann genügt der linearen, elliptischen Differentialgleichung
in .

Satz 2 (Geometrisches Maximumprinzip von E. Heinz)

Bearbeiten
Sei die Funktion eine Lösung der Differentialgleichung
(4)
Die Kleinheitsbedingung
(5)
sei erfüllt und es gelte
(6) für die Konstanten .
Behauptung: Dann folgt

Die Hilfsfunktion genügt der Differentialungleichung

in .

Das Maximumprinzip für subharmonische Funktionen liefert die Behauptung.

q.e.d.

Satz 3 (Jägersche Abschätzung)

Bearbeiten
Die Funktion genüge (1) und wir setzen
Weiter seien zwei Lösungen des H-Flächensystems (2) mit
(7) für alle .
Zusätzlich gelte und .
Behauptung: Dann haben wir für alle die Ungleichung
(8)

Wir wollen auf die Funktionen und das geometrische Maximumprinzip mit anwenden. Dazu bemerken wir, dass genau dann gilt, wenn

bzw. richtig ist und letzteres ist offenbar immer erfüllt. Satz 2 liefert also

und

Auf die Hilfsfunktion aus Satz 1 wenden wir nun das Hopfsche Maximumprinzip an und erhalten (8).

Satz 1 (Jägersches Maximumprinzip)

Bearbeiten
Die Funktion genüge den Ungleichungen
(1) für alle
und seien zwei Lösungen des H-Flächensystems
(2)
Wir setzen
(3)
Dabei gelte für alle mit
Behauptung: Dann genügt der linearen, elliptischen Differentialgleichung
in .

Satz 2 (Geometrisches Maximumprinzip von E. Heinz)

Bearbeiten
Sei die Funktion eine Lösung der Differentialgleichung
(4)
Die Kleinheitsbedingung
(5)
sei erfüllt und es gelte
(6) für die Konstanten .
Behauptung: Dann folgt

Die Hilfsfunktion genügt der Differentialungleichung

in .

Das Maximumprinzip für subharmonische Funktionen liefert die Behauptung.

q.e.d.

Satz 3 (Jägersche Abschätzung)

Bearbeiten
Die Funktion genüge (1) und wir setzen
Weiter seien zwei Lösungen des H-Flächensystems (2) mit
(7) für alle .
Zusätzlich gelte und .
Behauptung: Dann haben wir für alle die Ungleichung
(8)

Wir wollen auf die Funktionen und das geometrische Maximumprinzip mit anwenden. Dazu bemerken wir, dass genau dann gilt, wenn

bzw. richtig ist und letzteres ist offenbar immer erfüllt. Satz 2 liefert also

und

Auf die Hilfsfunktion aus Satz 1 wenden wir nun das Hopfsche Maximumprinzip an und erhalten (8).

q.e.d.