Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare elliptische Systeme/Verzerrungsabschätzungen für ebene elliptische Systeme

Satz 1 (Heinzsche Ungleichung)

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Wir betrachten auf der Einheitskreisscheibe die ebene Abbildung . Diese genüge der DUGL
(1) in
mit Konstanten , erfülle
(2) in
mit einer Konstante und sei gemäß
(3) für alle
positiv orientiert. Schließlich sei erfüllt. Zu jedem gibt es dann Konstanten , so dass gilt
(4)

1. Zum Parameter erhalten wir aus (1) die Abschätzung

(5) in .

Wir wählen so klein, dass erfüllt ist. In der Kreisscheibe vom Radius entnehmen wir §2, Satz 1 die Abschätzung

(6)

Einsetzen in (1) liefert die lineare DUGL

(7) in .

2. Wir betrachten die Hilfsfunktion und berechnen

in .

Wegen (3) folgt

(8)

3. Aus (6)-(8) erhalten wir die Ungleichungen

(9) in

und

(10) in .

Die Funktion ist also in pseudoholomorph mit den Konstanten

Wegen und gilt nun die Abschätzung

(11)

in . Mit Hilfe von (8) finden wir dann die behauptete Ungleichung (4) mit den a-priori-Konstanten .

q.e.d.

Definition 1

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Zu Konstanten und bezeichnen wir mit die folgende Klasse von Abbildungen:
i) bildet topologisch und positiv orientiert auf ab;
ii) ist nullpunkttreu, d. h. ;
iii) es ist
für alle ;
iv) genügt der DUGL
in ;
v) für das Dirichletintegral von gilt

Satz 2 (Verzerrungsabschätzung von Heinz)

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Die Parameter und seien gewählt. Dann gibt es Konstanten , so dass für jede Abbildung die Ungleichung
(12) für alle
erfüllt ist. Weiter ist der Stetigkeitsmodul der Abbildungen in gemäß der u. a. Formel (13) abgeschätzt.

Wir zeigen zunächst die Zwischenbehauptung: Für alle und gilt

(13) für alle mit .

Wir können o. B. d. A.

annehmen, da anderenfalls (13) trivial wäre. Für ein beliebiges finden wir nach dem Courant-Lebesgueschen Oszillationslemma ein , so dass gilt

(14)

Wir erklären die Mengen

sowie ihre topologischen Bilder und unterscheiden
Fall a: . Dann folgt und die Länge von erfüllt wegen (14)

Da topologisch ist, erhalten wir

(15) für alle .

Fall b: . Dann gibt es also einen Punkt und (14) liefert

Wegen und

ist erfüllt und wegen und gilt . Da die Abbildung topologisch und nullpunkttreu ist, liefert somit die Inklusion . Wir erhalten für alle die Abschätzung

(16)

Beachten wir noch , so ergeben (15), (16) den Beweis der Zwischenbehauptung (13).

2. Die Funktion genügt der DUGL

(17) in .

Wir wählen nun so groß, dass neben auch die Bedingung

(18)

erfüllt. Zu beliebigem Punkt betrachten wir die Hilfsfunktion

(19)

Wegen (13) und (17) haben wir dann

(20) in

Beachten wir noch (18), so liefert die Gradientenabschätzung von Heinz aus §2, Satz 1 die Ungleichung

(21) für alle .

Hiermit erhalten wir die behauptete Abschätzung (12) nach oben.

3. Wir wählen nun so groß, dass neben (18) noch und

erfüllt. Aus (13) ersehen wir dann

(22) für alle mit .

Zu einem betrachten wir nun die Kurve und berechnen

mit einem . Es gibt also einen Punkt a(23) mit .

4. Wegen (21) genügt der linearen DUGL

(24) in .

Mit der Heinzschen Ungleichung (für und ) erhalten wir in

(25)

mit gewissen Exponenten und Konstanten . Beachten wir schließlich noch (23), so finden wir mit (25) eine Konstante , so dass

(26) für alle

für beliebige richtig ist. Somit ist auch die Abschätzung nach unten in (12) bewiesen.

q.e.d.