Die wesentlichen Eigenschaften der durch induzierten Matrixnormen u.a. im Zusammenhang mit dem Spektrum sind im Folgenden zusammengefasst.
Definition - Spektrum
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Für eine Matrix
B
∈
K
n
×
n
{\displaystyle B\in \mathbb {K} ^{n\times n}}
nennt man
σ
(
B
)
:=
{
λ
∈
C
:
λ
i
s
t
E
i
g
e
n
w
e
r
t
v
o
n
B
}
{\displaystyle \sigma (B):=\{\lambda \in \mathbb {C} \,:\,\lambda \ ist\ Eigenwert\ von\ B\}}
das Spektrum und
ϱ
(
B
)
:=
max
{
|
λ
|
:
λ
∈
σ
(
B
)
}
{\displaystyle \varrho (B):=\max\{|\lambda |\,:\,\lambda \in \sigma (B)\}}
den Spektralradius von
B
{\displaystyle B}
.
Bemerkung - Eigenwerte und Eigenvektor
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Eigenvektoren zusammen mit dem zugehörigen Eigenvektor sind wesentlich, um eine lineare Abbildung (Endomorphismus allein durch eine Linearkombination von gestreckt und gestauchten Eigenvektoren darzustellen (siehe Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierung )
Satz - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm
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Satz - Zeilensummen und Spaltensummennorm
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Für
A
:=
(
a
k
j
)
∈
K
n
×
n
{\displaystyle A:=(a_{kj})\in \mathbb {K} ^{n\times n}}
und die durch die Vektornormen
‖
⋅
‖
∞
{\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}
und
‖
⋅
‖
1
{\displaystyle \|\cdot \|_{1}}
induzierten Matrixnormen
‖
A
‖
∞
{\displaystyle \|A\|_{\infty }}
bzw.
‖
A
‖
1
{\displaystyle \|A\|_{1}}
gilt
‖
A
‖
∞
=
max
k
=
1
,
…
,
n
∑
j
=
1
n
|
a
k
j
|
{\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max _{k=1,\ldots ,n}\sum _{j=1}^{n}|a_{kj}|}
(Zeilensummennorm),
‖
A
‖
1
=
max
j
=
1
,
…
,
n
∑
k
=
1
n
|
a
k
j
|
{\displaystyle \|A\|_{1}=\max _{j=1,\ldots ,n}\sum _{k=1}^{n}|a_{kj}|}
(Spaltensummennorm).
Beweis - Zeilensummen und Spaltensummennorm
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Die Beweise der Gleichheit "
=
{\displaystyle =}
" für die Zeilensummennorm bzw. Spaltensummennorm wird jeweils in zwei Teilaussagen "
≥
{\displaystyle \geq }
" und "
≤
{\displaystyle \leq }
" zerlegt. Für die Zeilensummennorm bedeutet das:
‖
A
x
‖
∞
≤
max
k
∈
{
1
,
…
,
n
}
∑
j
=
1
n
|
a
k
j
|
‖
A
x
‖
∞
≥
max
k
∈
{
1
,
…
,
n
}
∑
j
=
1
n
|
a
k
j
|
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|Ax\|_{\infty }&\leq &\displaystyle \max _{k\in \{1,\ldots ,n\}}\sum _{j=1}^{n}|a_{kj}|\\\|Ax\|_{\infty }&\geq &\displaystyle \max _{k\in \{1,\ldots ,n\}}\sum _{j=1}^{n}|a_{kj}|\\\end{array}}}
Beweis 1.1 - Zeilensummennorm
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Wir weisen zunächst die Behauptung für die Zeilensummennorm nach. Für
x
∈
K
n
{\displaystyle x\in \mathbb {K} ^{n}}
gilt
‖
A
x
‖
∞
=
max
k
=
1
,
…
,
n
|
∑
j
=
1
n
a
k
j
x
j
|
≤
max
k
=
1
,
…
,
n
∑
j
=
1
n
|
a
k
j
|
|
x
j
|
≤
(
max
k
=
1
,
…
,
n
∑
j
=
1
n
|
a
k
j
|
)
‖
x
‖
∞
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|Ax\|_{\infty }&=&\max _{k=1,\ldots ,n}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{kj}x_{j}\right|\\&\leq &\max _{k=1,\ldots ,n}\sum _{j=1}^{n}|a_{kj}||x_{j}|\\&\leq &\left(\max _{k=1,\ldots ,n}\sum _{j=1}^{n}|a_{kj}|\right)\|x\|_{\infty }\\\end{array}}}
Beweis 1.2 - Zeilensummennorm
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Somit erghält man
‖
A
x
‖
∞
‖
x
‖
∞
≤
max
k
=
1
,
…
,
n
∑
j
=
1
n
|
a
k
j
|
,
{\displaystyle {\frac {\|Ax\|_{\infty }}{\|x\|_{\infty }}}\leq \max _{k=1,\ldots ,n}\sum _{j=1}^{n}|a_{kj}|,}
und die folgende Abschätzung:
‖
A
‖
∞
≤
max
k
=
1
,
…
,
n
∑
j
=
1
n
|
a
k
j
|
{\displaystyle \|A\|_{\infty }\leq \max _{k=1,\ldots ,n}\sum _{j=1}^{n}|a_{kj}|}
folgt.
Beweis 1.3 - Zeilensummennorm
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Zum Beweis der umgekehrten Abschätzung sei
k
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n\}}
beliebig, aber fest gewählt. Für
x
:=
(
x
j
)
∈
K
n
{\displaystyle x:=(x_{j})\in \mathbb {K} ^{n}}
mit
x
j
:=
{
|
a
k
j
|
/
a
k
j
,
falls
a
k
j
≠
0
1
,
sonst
{\displaystyle x_{j}:={\begin{cases}|a_{kj}|/a_{kj},&{\text{falls }}a_{kj}\neq 0\\1,&{\text{sonst}}\end{cases}}}
gilt dann
‖
x
‖
∞
=
1
{\displaystyle \|x\|_{\infty }=1}
.
Beweis 1.4 - Zeilensummennorm
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Somit hat man
‖
A
‖
∞
=
max
‖
y
‖
∞
=
1
‖
A
y
‖
∞
≥
‖
A
x
‖
∞
≥
|
∑
j
=
1
n
a
k
j
x
j
|
=
∑
j
=
1
n
|
a
k
j
|
.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|A\|_{\infty }&=&\max _{\|y\|_{\infty }=1}\|Ay\|_{\infty }\\&\geq &\|Ax\|_{\infty }\geq \left|\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{kj}x_{j}\right|\\&=&\displaystyle \sum _{j=1}^{n}|a_{kj}|.\\\end{array}}}
Da
k
{\displaystyle k}
beliebig gewählt war, folgt die behauptete Darstellung für
‖
A
‖
∞
{\displaystyle \|A\|_{\infty }}
.
Beweis 2.1 - Spaltensummennorm
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In dem nächsten Beweisteil werden wieder zwei Ungleichungen gezeigt, die zusammen die Aussage für die Spaltensummennorm liefern:
‖
A
x
‖
1
≤
max
ℓ
∈
{
1
,
…
,
n
}
∑
k
=
1
n
|
a
k
ℓ
|
‖
A
x
‖
1
≥
max
ℓ
∈
{
1
,
…
,
n
}
∑
k
=
1
n
|
a
k
ℓ
|
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|Ax\|_{1}&\leq &\displaystyle \max _{\ell \in \{1,\ldots ,n\}}\sum _{k=1}^{n}|a_{k\ell }|\\\|Ax\|_{1}&\geq &\displaystyle \max _{\ell \in \{1,\ldots ,n\}}\sum _{k=1}^{n}|a_{k\ell }|\\\end{array}}}
Beweis 2.2 - Spaltensummennorm
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Nun gilt weiter für
x
∈
K
n
{\displaystyle x\in \mathbb {K} ^{n}}
‖
A
x
‖
1
=
∑
k
=
1
n
|
∑
j
=
1
n
a
k
j
x
j
|
≤
∑
k
=
1
n
∑
j
=
1
n
|
a
k
j
|
|
x
j
|
≤
∑
j
=
1
n
(
∑
k
=
1
n
|
a
k
j
|
)
≤
(
max
j
=
1
,
…
,
n
∑
k
=
1
n
|
a
k
j
|
)
∑
j
=
1
n
|
x
j
|
=
(
max
j
=
1
,
…
,
n
∑
k
=
1
n
|
a
k
j
|
)
‖
x
‖
1
.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|Ax\|_{1}&=&\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{kj}x_{j}\right|\\&\leq &\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|a_{kj}||x_{j}|\leq \sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{k=1}^{n}|a_{kj}|\right)\\&\leq &\left(\displaystyle \max _{j=1,\ldots ,n}\sum _{k=1}^{n}|a_{kj}|\right)\sum _{j=1}^{n}|x_{j}|\\&=&\left(\displaystyle \max _{j=1,\ldots ,n}\sum _{k=1}^{n}|a_{kj}|\right)\|x\|_{1}.\\\end{array}}}
Beweis 2.3 - Spaltensummennorm
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Zum Beweis der umgekehrten Aussage sei
ℓ
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \ell \in \{1,\ldots ,n\}}
beliebig, aber fest gewählt. Mit dem Einheitsvektor
e
ℓ
:=
(
δ
k
ℓ
)
∈
K
n
{\displaystyle e^{\ell }:=(\delta _{k\ell })\in \mathbb {K} ^{n}}
erhält man dann
‖
A
‖
1
=
max
‖
y
‖
1
=
1
‖
A
y
‖
1
≥
‖
A
e
ℓ
‖
1
=
∑
k
=
1
n
|
∑
j
=
1
n
a
k
j
δ
j
ℓ
|
=
∑
k
=
1
n
|
a
k
ℓ
|
.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|A\|_{1}&=&\displaystyle \max _{\|y\|_{1}=1}\|Ay\|_{1}\\&\geq &\|Ae^{\ell }\|_{1}=\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{kj}\delta _{j\ell }\right|\\&=&\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|a_{k\ell }|.\\\end{array}}}
Damit folgt auch die behauptete Darstellung von
‖
A
‖
1
{\displaystyle \|A\|_{1}}
.
q.e.d.
Bemerkung - Reeller Fall
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Im Folgenden beschränken wir uns auf den reellen Fall
K
:=
R
{\displaystyle \mathbb {K} :=\mathbb {R} }
. Als unmittelbare Konsequenz aus Satz 2.12 erhält man
Korollar - Reeller Fall
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Für Matrizen
A
∈
R
n
×
n
{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}
gilt
‖
A
‖
∞
=
‖
A
T
‖
1
,
‖
A
‖
1
=
‖
A
T
‖
∞
.
{\displaystyle \|A\|_{\infty }=\|A^{T}\|_{1},\quad \|A\|_{1}=\|A^{T}\|_{\infty }.}
Bemerkung - Zusammenhang von Normen im reellen Fall
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Der nachstehende Satz liefert im Fall reeller Matrizen für die durch die Euklidische Vektornorm induzierte Matrixnorm eine spezielle Darstellung.
Satz - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm
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Sei
A
∈
R
n
×
n
{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}
. Für die durch die Euklidische Vektornorm
‖
⋅
‖
2
:
R
n
→
R
+
{\displaystyle \|\cdot \|_{2}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}}
induzierte Matrixnorm
‖
⋅
‖
2
:
R
n
×
n
→
R
0
+
{\displaystyle \|\cdot \|_{2}:\mathbb {R} ^{n\times n}\to \mathbb {R} _{0}^{+}}
gilt:
‖
A
‖
2
=
ϱ
(
A
T
A
)
.
{\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\varrho (A^{T}A)}}.}
Beweis - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm
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Es ist
A
T
A
∈
R
n
×
n
{\displaystyle A^{T}A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}
eine symmetrische und wegen
x
T
A
T
A
x
=
(
A
x
)
T
(
A
x
)
=
‖
A
x
‖
2
2
≥
0
,
x
∈
R
n
{\displaystyle x^{T}A^{T}Ax=(Ax)^{T}(Ax)=\|Ax\|_{2}^{2}\geq 0,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}}
positiv semi-definite Matrix.
Beweis - 1 - Eigenwerte
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Somit besitzt
A
T
A
{\displaystyle A^{T}A}
Eigenwerte
λ
k
≥
0
{\displaystyle \lambda _{k}\geq 0}
(
k
=
1
,
…
,
n
)
{\displaystyle (k=1,\ldots ,n)}
und gibt es zu
A
T
A
{\displaystyle A^{T}A}
ein System
u
1
,
…
,
u
n
∈
R
n
{\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {R} ^{n}}
von orthonormalen Eigenvektoren, d. h. es ist
A
T
A
u
k
=
λ
k
u
k
,
k
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle A^{T}Au_{k}=\lambda _{k}u_{k},\quad k=1,\ldots ,n}
und
u
k
T
u
l
=
δ
l
k
{\displaystyle u_{k}^{T}u_{l}=\delta _{lk}}
.
Für
x
∈
R
n
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
gilt daher mit der Darstellung
x
=
∑
k
=
1
n
c
k
u
k
{\displaystyle x=\sum _{k=1}^{n}c_{k}u_{k}}
‖
A
x
‖
2
2
=
x
T
A
T
A
x
=
(
∑
k
=
1
n
c
k
u
k
)
T
(
∑
j
=
1
n
c
j
(
A
T
A
)
u
j
)
=
(
∑
k
=
1
n
c
k
u
k
)
T
(
∑
j
=
1
n
λ
j
c
j
u
j
)
=
∑
k
=
1
n
λ
k
c
k
2
≤
(
max
k
=
1
,
…
,
n
λ
k
)
⋅
∑
k
=
1
n
c
k
2
=
ϱ
(
A
T
A
)
‖
x
‖
2
2
.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|Ax\|_{2}^{2}&=&x^{T}A^{T}Ax=\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}c_{k}u_{k}\right)^{T}\left(\sum _{j=1}^{n}c_{j}(A^{T}A)u_{j}\right)\\&=&\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}c_{k}u_{k}\right)^{T}\left(\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}c_{j}u_{j}\right)=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}c_{k}^{2}\\&\leq &\left(\max _{k=1,\ldots ,n}\lambda _{k}\right)\cdot \sum _{k=1}^{n}c_{k}^{2}=\varrho (A^{T}A)\|x\|_{2}^{2}.\\\end{array}}}
In der obigen Abschätzung wird für einen Eigenvektor
x
~
∈
R
n
{\displaystyle {\tilde {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}
zu einem maximalen Eigenwert
λ
max
{\displaystyle \lambda _{\max }}
von
A
T
A
{\displaystyle A^{T}A}
angenommen, denn
‖
A
x
~
‖
2
2
=
x
~
T
A
T
A
x
~
=
λ
max
x
~
T
x
~
=
λ
max
‖
x
~
‖
2
2
.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|A{\tilde {x}}\|_{2}^{2}&=&{\tilde {x}}^{T}A^{T}A{\tilde {x}}\\&=&\lambda _{\max }{\tilde {x}}^{T}{\tilde {x}}=\lambda _{\max }\|{\tilde {x}}\|_{2}^{2}.\end{array}}}
Damit ist alles bewiesen.
q.e.d.
Bemerkung - Spektralnorm
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Die Matrixnorm
‖
A
‖
2
{\displaystyle \|A\|_{2}}
bezeichnet man auch als Spektralnorm. Dieser Name begründet sich durch den letzten Satz bzw. die in folgendem Satz angegebene Identität für reelle, symmetrische Matrizen.
Satz - Spektralnorm für symmetrische Matrizen
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Sei
A
∈
R
n
×
n
{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}
eine symmetrische Matrix, d. h.
A
=
A
T
{\displaystyle A=A^{T}}
. Dann gilt
‖
A
‖
2
=
ϱ
(
A
)
.
{\displaystyle \|A\|_{2}=\varrho (A).}
Für jede andere durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm
‖
⋅
‖
:
R
n
×
n
→
R
+
{\displaystyle \|\cdot \|:\mathbb {R} ^{n\times n}\to \mathbb {R} _{+}}
gilt
‖
A
‖
2
≤
‖
A
‖
.
{\displaystyle \|A\|_{2}\leq \|A\|.}
Beweis - Spektralnorm für symmetrische Matrizen
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Wegen
σ
(
A
2
)
=
{
λ
2
|
λ
∈
σ
(
A
)
}
{\displaystyle \sigma (A^{2})=\{\lambda ^{2}|\lambda \in \sigma (A)\}}
gilt
ϱ
(
A
2
)
=
[
ϱ
(
A
)
]
2
{\displaystyle \varrho (A^{2})=[\varrho (A)]^{2}}
und daher aufgrund der Symmetrie von
A
{\displaystyle A}
‖
A
‖
2
=
ϱ
(
A
T
A
)
=
ϱ
(
A
2
)
=
ϱ
(
A
)
.
{\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\varrho (A^{T}A)}}={\sqrt {\varrho (A^{2})}}=\varrho (A).}
Der zweite Teil der Behauptung folgt nun mit (2.4).
Beispiel 1a - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm
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Die symmetrische Matrix
A
=
(
1
3
3
2
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&3\\3&2\end{pmatrix}}}
besitzt die Eigenwerte
λ
1
,
2
=
(
3
±
37
)
/
2
{\displaystyle \lambda _{1,2}=(3\pm {\sqrt {37}})/2}
, so dass folgt:
‖
A
‖
2
=
(
3
+
37
)
/
2
≈
4.541.
{\displaystyle \|A\|_{2}=(3+{\sqrt {37}})/2\approx 4.541.}
Beispiel 1b - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm
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Weiter hat man
‖
A
‖
∞
=
‖
A
‖
1
=
5
{\displaystyle \|A\|_{\infty }=\|A\|_{1}=5}
. Damit zeigt dieses Beispiel, dass sich die im Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen stehenden Beziehungen
‖
x
‖
∞
≤
‖
x
‖
2
≤
‖
x
‖
1
,
x
∈
R
n
{\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1},x\in \mathbb {R} ^{n}}
nicht auf die entsprechenden induzierten Matrixnormen übertragen lassen.
Beispiel 2 - Nicht-symmetrische Matrizen
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Für die nicht symmetrische Matrix
A
∈
R
2
×
2
{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{2\times 2}}
, definiert durch
A
=
(
0
1
0
1
)
⇒
A
T
A
=
(
0
0
0
2
)
,
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}}\Rightarrow A^{T}A={\begin{pmatrix}0&0\\0&2\end{pmatrix}},}
gilt offenbar
ϱ
(
A
)
=
1
=
‖
A
‖
∞
,
‖
A
‖
2
=
2
{\displaystyle \varrho (A)=1=\|A\|_{\infty },\|A\|_{2}={\sqrt {2}}}
und
‖
A
‖
1
=
2
{\displaystyle \|A\|_{1}=2}
. Letzteres zeigt, dass auf die Voraussetzung „
A
=
A
T
{\displaystyle A=A^{T}}
“ in Satz 2.15 nicht verzichtet werden kann.
Bemerkung - Abschätzung für die Spektralnorm
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Der folgende Satz liefert noch Abschätzungen für die Spektralnorm beliebiger quadratischer Matrizen.
Satz - Abschätzung für die Spektralnorm
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Für jede Matrix
A
∈
R
n
×
n
{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}
gilt
‖
A
‖
2
≤
‖
A
‖
∞
‖
A
‖
1
,
‖
A
‖
2
≤
‖
A
‖
F
,
{\displaystyle \|A\|_{2}\leq {\sqrt {\|A\|_{\infty }\|A\|_{1}}},\quad \|A\|_{2}\leq \|A\|_{F},}
wobei
‖
A
‖
F
{\displaystyle \|A\|_{F}}
die in Beispiel 2.6 (a) definierte Frobenius-Norm sei.
Beweis 1 - Abschätzung für die Spektralnorm
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Mit dem Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen und Korollar hat man
‖
A
‖
2
=
ϱ
(
A
T
A
)
=
‖
A
T
A
‖
2
≤
‖
A
T
A
‖
∞
≤
‖
A
T
‖
∞
‖
A
‖
∞
=
‖
A
‖
1
‖
A
‖
∞
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|A\|_{2}&=&{\sqrt {\varrho (A^{T}A)}}={\sqrt {\|A^{T}A\|_{2}}}\\&\leq &{\sqrt {\|A^{T}A\|_{\infty }}}\leq {\sqrt {\|A^{T}\|_{\infty }\|A\|_{\infty }}}\\&=&{\sqrt {\|A\|_{1}\|A\|_{\infty }}}\\\end{array}}}
Beweis 2 - Abschätzung für die Spektralnorm
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Dabei wurde für die zweite Abschätzung die Cauchy-Schwarz-Ungleichung verwendet:
‖
A
x
‖
2
=
(
∑
k
=
1
n
|
∑
j
=
1
n
a
k
j
x
j
|
2
)
1
/
2
≤
[
∑
k
=
1
n
(
∑
j
=
1
n
|
a
k
j
|
2
)
(
∑
j
=
1
n
|
x
j
|
2
)
]
1
/
2
=
‖
A
‖
F
‖
x
‖
2
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|Ax\|_{2}&=&\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{kj}x_{j}\right|^{2}\right)^{1/2}\\&\leq &\displaystyle \left[\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}|a_{kj}|^{2}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}|x_{j}|^{2}\right)\right]^{1/2}\\&=&\|A\|_{F}\|x\|_{2}\\\end{array}}}
für alle
x
∈
R
n
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
. q.e.d.