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Definitonen

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Auf einer Menge   lässt sich eine zweistellige Verknüpfung   definieren. Ist diese Verknüpfung abgeschlossen, also liegen die Ergebnisse jeder möglichen Verknüpfung wieder in  , so wird   als Magma bezeichnet.

Halbgruppe

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Ist   ein Magma und die Verknüpfung   assoiziativ
 
so wird   als Halbgruppe bezeichnet.

Ist   eine Halbgruppe und besitzt ein Element   so dass für jedes Element   der Zusammenhang
 
gilt, so heißt   Monoid und   heißt Neutrales Element.

Ist   ein Monid und existiert für alle   ein Element  , welches
  erfüllt, so heißt   Gruppe und das Element   heißt Inverses Element zu  .

Abelsche Gruppe

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Ist   eine Gruppe und gilt für alle   der Zusammenhang
 
so wird die Gruppe als abelsche Gruppe bezeichnet.

Anmerkungen

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Die Überlegungen, die hier aus der Addition heraus entwickelt wurden, lassen sich auch auf die Multiplikation anwenden. In diesem Fall wird als Verknüpfung meist  , für das Neutrale Element   und für Inverse Element   als Bezeichnung gewählt.

Aufgaben

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  • Zeige dass die Menge   mit der Verknüpfung   und der Verknüpfungstabelle
Verknüpfungstabelle
     
     
     

eine abelsche Gruppe ist. Was ist das Neutrale Element?

  • Prüfe um welche oben definierte Struktur es sich jeweils bei

 
handelt. Begründe, warum es sich nicht um die nächst höhere Struktur handeln kann.

Lösungen

Siehe auch

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  • Weitere Informationen können in dem Wikipedia-Artilel Gruppe gefunden werden.