Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation
Einleitung Bearbeiten
Diese Seite kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus.
Zielsetzung Bearbeiten
Diese Lerneinheit bereitet mit einer Abschätzung und induktiven Definition von positiven Konstanten die Stetigkeit von Gaugefunktional, Quasihalbnorm und Halbnormen auf der Polynomalgebra vor, wobei die Koeffizienten von zwei Gaugefunktionalen bzgl. der LC-Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation, PC-Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation und allgemein der T-Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation nachgewiesen werden kann.
Koeffizientenlemma: Cauchy-Multiplikation Bearbeiten
Sei eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden Quasihalbnormensystem . Sei eine Stetigkeitskonstante der Addition einer Quasihalbnorm , und zwei Folgen positiver Zahlen, dann gibt es eine Folge von positiven Zahlen, die folgende zwei Eigenschaften erfüllt:
- (KL1) für alle
- (KL2) für alle .
Beweis Bearbeiten
Der Beweis definiert die Koeffizientenfolge induktiv definiert.
Definition der ersten Folgenkomponente Bearbeiten
Man definiert das erste Folgenkomponenten und erhält damit die Bedingung (KL1) . Ferner gilt für alle mit : Denn es gilt dann und damit:
Voraussetzungen für die nächste Folgenkomponente Bearbeiten
Sei nun die -te Folgenkomponente bereits definiert, damit und es gelten für alle die Bedingungen :
- (KL1) für alle
- (KL2) für alle .
Definition des nächsten Folgenkomponente Bearbeiten
Da (KL1) und (KL2) für gelten, definiert man nun über :
Bemerkung zu den Maxima Bearbeiten
- sorgt insbesondere für die Abschätzung bzgl. der Stetigkeit der Addtion mit der Stetigkeitskonstante und bei der induktiven Definition für .
- ist für die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation wesentlich, wenn einer der beiden Indizes und der jeweils anderen kleiner als ist.
- Der Term erlaubt eine Abschätzung des Cauchy-Produktes für mit
Gültigkeit von (KL1) Bearbeiten
Mit der Maximumdefinition erhält man unmittelbar , da als definiert wurde.
Gültigkeit von (KL2) - Fallunterscheidung Bearbeiten
Für die Gültigkeit von (KL2) mit muss man nur die Fälle untersuchen, bei denen oder gilt. Die Fälle gelten nach Voraussetzung. Wir verwenden eine Fallunterscheidung für:
- (KL2-F1) und bzw. und
- (KL2-F2) und wird bei der Abschätzung über:
Gültigkeit von (KL2-F1) - Fallunterscheidung 1 Bearbeiten
Damit ergibt sich für alle . Ferner gilt . Also gilt und für und bzw. . Für ergibt sich die Behauptung nach Voraussetzung.
Aufgaben für Studierende Bearbeiten
Betrachten Sie die Cauchy-Multiplikation auf der Polynomalgebra und erläutern Sie, wie man die Koeffizienten der Gaugefunktionale für pseudokonvexe Algebren definieren kann (siehe auch LC-Stetigkeit und PC-Stetigkeit des Cauchy-Produkt.
Siehe auch Bearbeiten
Seiteninformation Bearbeiten
Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.
Wiki2Reveal Bearbeiten
Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.
- Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
- Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma%20der%20Cauchy-Multiplikation
- siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.