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Homöomorphie der Einbettung
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Nun ist die Algebraerweiterung
B
{\displaystyle B}
τ
{\displaystyle \tau }
τ
−
1
{\displaystyle \tau ^{-1}}
Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen )
Stetigkeit der Einbettung von A in B
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Für die Stetigkeit der Umkehrabbildung
τ
−
1
{\displaystyle \tau ^{-1}}
0
A
[
t
]
∈
I
{\displaystyle 0_{A[t]}\in I}
‖
x
+
I
‖
(
α
,
n
)
(
B
)
:=
inf
r
∈
I
‖
|
x
+
r
|
‖
(
α
,
n
)
≤
‖
|
x
+
0
A
[
t
]
|
‖
(
α
,
n
)
=
C
0
n
(
α
)
⋅
‖
x
‖
(
n
,
0
)
(
α
)
=
‖
x
‖
(
α
,
n
)
{\displaystyle \|x+I\|_{(\alpha ,n)}^{(B)}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{(\alpha ,n)}\leq \|\!|x+0_{A[t]}|\!\|_{(\alpha ,n)}=C_{0}^{n}(\alpha )\cdot \|x\|_{(n,0)}^{(\alpha )}=\|x\|_{(\alpha ,n)}}
Insgesamt ist der Algebraisomorphismus der Einbettung von
A
{\displaystyle A}
A
′
⊂
B
:=
A
[
t
]
/
I
{\displaystyle A'\subset B:=A[t]/I}
‖
x
+
I
‖
(
α
,
n
)
(
B
)
≤
‖
x
‖
(
α
,
n
)
{\displaystyle \|x+I\|_{(\alpha ,n)}^{(B)}\leq \|x\|_{(\alpha ,n)}}
Stetigkeit der Umkehrabbildung der Einbettung 1
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Unter Verwendung der Abschätzung
‖
x
‖
A
≤
D
⋅
‖
z
⋅
x
‖
A
{\displaystyle \|x\|_{A}\leq D\cdot \|z\cdot x\|_{A}}
‖
|
x
+
r
|
‖
(
α
,
n
)
=
C
0
n
(
α
)
⋅
‖
x
−
q
0
‖
(
n
,
0
)
(
α
)
+
∑
k
=
1
∞
C
k
n
(
α
)
⋅
‖
z
⋅
q
k
−
1
−
q
k
‖
(
n
,
k
)
(
α
)
≥
C
0
n
(
α
)
⋅
‖
x
−
q
0
‖
(
n
,
0
)
(
α
)
+
∑
k
=
1
∞
C
k
n
(
α
)
⋅
(
‖
z
⋅
q
k
−
1
‖
(
n
,
k
)
(
α
)
−
‖
q
k
‖
(
n
,
k
)
(
α
)
)
≥
C
0
n
(
α
)
⋅
‖
x
−
q
0
‖
(
n
,
0
)
(
α
)
+
∑
k
=
1
∞
C
k
n
(
α
)
⋅
‖
z
⋅
q
k
−
1
‖
(
n
,
k
)
(
α
)
−
C
k
n
(
α
)
⋅
‖
q
k
‖
(
n
,
k
)
(
α
)
≥
‖
x
−
q
0
‖
n
,
0
)
(
α
)
+
∑
k
=
1
∞
C
k
−
1
n
(
α
)
⋅
‖
q
k
−
1
‖
(
n
,
k
−
1
)
(
α
)
−
C
k
n
(
α
)
⋅
‖
q
k
‖
(
n
,
k
)
(
α
)
≥
‖
x
−
q
0
‖
(
n
,
0
)
(
α
)
+
‖
q
0
‖
(
n
,
0
)
(
α
)
≥
‖
x
‖
(
α
,
n
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\!|x&+&r|\!\|_{(\alpha ,n)}=C_{0}^{n}(\alpha )\cdot \|x-q_{0}\|_{(n,0)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\infty }C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \|z\cdot q_{k-1}-q_{k}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}\\\\&\geq &C_{0}^{n}(\alpha )\cdot \|x-q_{0}\|_{(n,0)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\infty }C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \left(\|z\cdot q_{k-1}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}-\|q_{k}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}\right)\\\\&\geq &C_{0}^{n}(\alpha )\cdot \|x-q_{0}\|_{(n,0)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\infty }C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \|z\cdot q_{k-1}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}-C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \|q_{k}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}\\&\geq &\|x-q_{0}\|_{n,0)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\infty }C_{k-1}^{n}(\alpha )\cdot \|q_{k-1}\|_{(n,k-1)}^{(\alpha )}-C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \|q_{k}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}\\&\geq &\|x-q_{0}\|_{(n,0)}^{(\alpha )}+\|q_{0}\|_{(n,0)}^{(\alpha )}\geq \|x\|_{(\alpha ,n)}\end{array}}}
Stetigkeit der Umkehrabbildung der Einbettung 2
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Durch Infimumbildung über alle Polynome
r
∈
I
{\displaystyle r\in I}
‖
x
+
I
‖
(
α
,
n
)
(
B
)
:=
inf
r
∈
I
‖
|
x
+
r
|
‖
(
α
,
n
)
≥
‖
x
‖
(
α
,
n
)
{\displaystyle \|x+I\|_{(\alpha ,n)}^{(B)}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{(\alpha ,n)}\geq \|x\|_{(\alpha ,n)}}
![{\displaystyle 0_{A[t]}\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd47917438e866da00ed13565bd6b943ed260bf)
![{\displaystyle \|x+I\|_{(\alpha ,n)}^{(B)}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{(\alpha ,n)}\leq \|\!|x+0_{A[t]}|\!\|_{(\alpha ,n)}=C_{0}^{n}(\alpha )\cdot \|x\|_{(n,0)}^{(\alpha )}=\|x\|_{(\alpha ,n)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef284fbdb0fb5004b9b2bf46d6f9aea9d4eccbfe)
![{\displaystyle A'\subset B:=A[t]/I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2fb696240153ac092adf7e0bc8cebe25afcbd44)
