Lemma von Riesz
Lemma von Riesz Bearbeiten
Gegeben seien ein normierter Raum , ein abgeschlossener echter Unterraum von und eine reelle Zahl . Dann existiert ein normiertes Element ( , so dass gilt [1] [2]:
- für alle .
Bemerkung - Infimum Bearbeiten
Mit der obigen Aussage im Lemma gilt auch die Ungleichung für das folgende Infimum:
- .
Das Lemma wird später für im Kurs für den Kompaktheitssatz von Riesz verwendet.
Bemerkung - Konvergente Teilfolgen Bearbeiten
In endlich dimensionalen normierten Räumen sind abgeschlossenen und beschränkte Mengen kompakt und Folgen in abgeschlossenen und beschränkten Mengen besitzen konvergente Teilfolgen. Im unendlichdimensionalen Vektorräumen gilt das nicht mehr. Denn dort kann man mit dem Lemma von Riesz ein Folge in der abgeschlossenen Einheitskugel des normierten Raumes konstruieren, die keine konvergente Teilfolgen besitzt.
Beweis Bearbeiten
Der Beweis gliedert sich in die folgenden zwei Teilschritte:
- (1) Abstands von Elementen zum Untervektorraum mit der Definition von
- (2) Abschätzungen in einer Ungleichungskette
(1) Abstands von Elementen zum Untervektorraum Bearbeiten
Da ein echter Untervektorraum von ist, dann gibt es einen Punkt z außerhalb der echten Teilmenge U mit
(2) Abstands von Elementen zum Untervektorraum Bearbeiten
Der Abstand zu muss positiv sein, da U nach Vorraussetzung abgeschlossen ist. Sei ein vorgegeben. Da d als Infimum definiert ist, gibt es ein mit
Man definiert nun wie folgt:
- mit .
(3) Ungleichungskette Bearbeiten
Damit ergibt sich folgende Ungleichung:
q.e.d.
Einzelnachweise Bearbeiten
Siehe auch Bearbeiten
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