Mengen

Mengen

Der Begriff einer Menge kommt in der Mathematik fast überall an grundlegender Stelle vor und wird auch von uns im täglichen Sprachgebrauch oder auch in der Arbeit als Umweltwissenschaftler ständig gebraucht, oftmals ohne, dass wir explizit bemerken, dass wir mit Mengen Arbeiten. Beispielsweise kann eine Liste der in einem bestimmten Habitat vorkommenden Arten als eine Menge angesehen werden. Diese Menge besteht dann aus Elementen, welche die Artnamen der vorkommenden Arten repräsentieren.

Die Mengenlehre als mathematische Disziplin geht auf Georg Cantor (1845-1918) zurück.
Eine (naive) “Definition” einer Menge nach Cantor ist die folgende:

Definition: Menge

• Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.
• Die Objekte, die zu einer Menge gehören, nennen wir die Elemente dieser Menge.

Anmerkung: Definition Menge

Das ist keine exakte mathematische Definition, denn der Begriff einer Menge wird hier auf Begriffe, “Zusammenfassung”, “wohlunterschiedenen”, “Objekten” etc., zurückgeführt, die nicht näher bestimmt sind.
Es gibt daher eine genauere Definition von Mengen. Man spricht dann im Gegensatz zur naiven Mengenlehre von der axiomatischen Mengenlehre oder auch von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre.
Diese würde jedoch den Rahmen dieser Vorlesung sprengen. Deswegen möchten wir uns in dieser Vorlesung auf diesen naiven, aber durchaus gängigen, Mengenbegriff von Cantor beschränken.

Schreibweise: Üblicherweise nimmt man in der Mathematik Buchstaben zur Bezeichnung von Mengen und ihren Elementen, also z. B. $M$ für die Menge und $m$ für ein Element von $M$. Ist also $M$ eine Menge und $m$ ein Element von $M$, so schreiben wir $m\in M$. Ist $m$ kein Element von $M$, so schreiben wir $m\notin M$.

Definition: Teilmenge, Leere Menge, Mächtigkeit

Es seien $A$ und $B$ Mengen.

1. $A$ heißt Teilmenge von $B$, Notation $A\subseteq B$, genau dann, wenn alle Elemente von $A$ auch Elemente von $B$ sind.
2. $A$ heißt echte Teilmenge von $B$, Notation $A\subsetneq B$, falls $A$ eine Teilmenge von $B$ ist und es zugleich mindestens ein Element in $B$ gibt, das kein Element von $A$ ist.
3. $A$ und $B$ sind gleich, Notation $A=B$, genau dann, wenn $A\subseteq B$ und $B\subseteq A$ gilt, d. h. jedes Element von $A$ ist ein Element von $B$ und umgekehrt.
4. Die leere Menge, Notation $\emptyset$ oder auch $\{\}$, ist die Menge, die überhaupt keine Elemente besitzt. Insbesondere gilt $\emptyset \subseteq A$ für jede Menge $A$.
5. Hat die Menge $A$ nur endlich viele Elemente, so schreiben wir $|A|$ für die Anzahl der Elemente von $A$, Notation $|A|<\infty$. Hat $A$ unendlich viele Elemente, schreiben wir $|A|=\infty$. Wir nennen $|A|$ auch die Mächtigkeit von $A$.

Schreibweise: Wir schreiben eine Menge auf, indem wir die Objekte mit Kommata getrennt in geschweifte Klammern schreiben. Die Menge $\{ja,nein,Regenschirm\}$ hat die drei Elemente ja, nein und Regenschirm. Alles Weitere ist kein Element der Menge.

Bemerkung

In einer Menge kann man nicht sehen, wie häufig ein Element vorkommt. Es gilt $\{1,2\}=\{1,2,1,2,2\}$. Auch die Reihenfolge, in der wir die Elemente in eine Menge schreiben, ist egal. Es ist $\{1,2,3\}=\{3,1,2\}$.
Das heißt bei dem mathematische Objekt einer Menge kann nur entschieden werden, ob ein Element in einer Menge ist oder nicht, und nicht etwa, wie oft es dort vorkommt, oder ob es ein “wichtiges” Element ist, etc.
Zurückgreifend auf obiges Beispiel mit der Artenliste in einem Habitat, kann mit einer Menge, bestehend aus den Namen der vorkommenden Arten lediglich beschrieben werden, ob eine Art vorkommt oder nicht, nicht jedoch, wie oft eine Art vorkommt, welches ökologisch gesehen die wichtigste ist, oder welche Art als erstes bestimmt wurde.

Das Aussonderungsprinzip: Falls eine Menge $M$ gegeben ist, so können wir andere Mengen durch Aussonderung von Elementen konstruieren: $A=\{x\in M\mid x{\text{ hat eine gewisse Eigenschaft}}\}$ ist eine Teilmenge von $M$.

Beispiel

• $\mathbb {N}$ ist die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,4,\dots \}$
  

(Vereinbarung: $0$ ist eine natürliche Zahl!)

• $\mathbb {Z}$ ist die Menge der ganzen Zahlen, d. h. die natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ zusammen mit ihren Negativen $0,-1,-2,-3,-4,\dots$, also ist $\mathbb {Z} =\{0,1,-1,2,-2,3,-3,\ldots \}$
• $\mathbb {Q}$ bezeichnet die Menge der rationalen Zahlen, welche diejenigen Zahlen sind, die sich als Bruch mit ganzzahligem Zähler sowie Nenner (der muss ungleich 0 sein) darstellen lassen. Dabei ist ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ genau dann, wenn $a\cdot d=b\cdot c$ gilt.
  

Wir schreiben $\mathbb {Q} =\{{\frac {a}{b}}\mid a\in \mathbb {Z} ,\,b\in \mathbb {N} ,\,b\neq 0\}$.

• $\mathbb {R}$ bezeichnet die Menge der reellen Zahlen, die eine Vervollständigung der rationalen Zahlen ist. Sie beinhaltet Wurzelausdrücke wie ${\sqrt {2}}$ oder ${\sqrt[{3}]{28}}$ sowie $\pi$ und $e$ und noch viele weitere Zahlen. Eine formal saubere Einführung der reellen Zahlen würde den Rahmen der Veranstaltung sprengen.
• Die Menge der Insektenarten in Rheinland-Pfalz. $I=\{Papilio\ machaon,\ Iphiclides\ podalirius,$ $Parnassius\ apollo,\ \dots \}$
• Die Menge der Nudeln, welche ich in dieser Woche gegessen habe.
• $\{\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {R} ,\mathbb {Q} \}$
• $\{x\in \mathbb {Z} \mid x\geq 0\}=\mathbb {N}$

Beispiel

[Intervalle]

Sind $a$ und $b$ zwei reelle Zahlen mit $a<b$, so können wir die Menge aller reellen Zahlen betrachten, die zwischen $a$ und $b$ liegen; das Intervall von $a$ bis $b$.
Wir unterscheiden, ob wir $a$ und $b$ als Elemente des Intervalls zulassen oder nicht.

• Ist sowohl $a$ als auch $b$ ein Element des Intervalls, so sprechen wir von dem abgeschlossenen Intervall von $a$ bis $b$. In Zeichen: $[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}.$
• Ist weder $a$ noch $b$ ein Element des Intervalls, so sprechen wir hingegen von dem offenen Intervall von $a$ bis $b$, in Zeichen: $(a,b)={]a,b[}=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}.$
• Ist nur eine der Intervallgrenzen $a$ und $b$ in dem Intervall als Element enthalten, so heißt das Intervall halboffen.
  

Je nachdem, ob $a$ oder $b$ ein Element des Intervalls ist, sagen wir, das Intervall ist links abgeschlossen und rechts offen: $[a,b)={[a,b[}=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\}$ bzw. rechts abgeschlossen und links offen: $(a,b]={]a,b]}\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\}.$