Modul/Freier Rang/Lokaler Ring/Textabschnitt


Es sei ein Modul über dem kommutativen Ring . Dann heißt der maximale Rang eines freien Moduls derart, dass es eine direkte Summenzerlegung mit einem weiteren -Modul gibt, der freie Rang von .



Es sei ein lokaler Ring und ein -Modul.

Dann ist der freie Rang von gleich der -Dimension des Quotienten in der kurzen exakten Sequenz

Zunächst ist der Quotient ein Modul über . Zu einem Element und einem ist , somit annulliert den Modul und dieser ist daher nach Fakt ein -Modul. Es sei

mit einem freien Modul . Es ist

und

Der Quotient ist dann

Die Dimension von ist also mindestens . Wenn hierbei ein Untermodul ist, in dem der freie Rang von angenommen wird, so besitzt keinen nichttrivialen freien Summanden und auch keinen surjektiven Modulhomomorphismus von nach . Also ist und der rechte Summand ist .