Die Aussage von
Fakt
ist gerade, dass
direkte Summe
seiner
Primärkomponenten
ist (weil ein
Modul über einem
Hauptidealbereich mit nichttrivialem
Annullator in jedem Fall ein
Torsionsmodul ist).
Es bleibt also nur zu zeigen, dass die
Primärkomponenten direkte Summe
zyklischer Moduln sind. Nehmen wir also an
für ein
Primelement
. Als
Ideal wird
von
erzeugt für ein
, deshalb ist
für alle
.
Wir führen Induktion über
.
Für
ist
für alle
, daher wird
von
erzeugt.
Im Induktionsschritt müssen wir zeigen, dass aus
folgt, dass
direkte Summe zyklischer Moduln ist.
Die Induktionsvoraussetzung sagt uns, dass
, da es von
annulliert wird, direkte Summe zyklischer Moduln ist:
-
Hierbei kann
![{\displaystyle {}px_{i}\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ecd7fe7cef5a015280b7006891f6c4ae4c41e1)
für alle
![{\displaystyle {}i\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cbb055112c7c009ef444adc093f11a0d9900ebc)
erreicht werden, nehmen wir dies also an.
Es gilt für alle
die Aussage
für ein
, weil auch
gilt und
zu
führen würde. Es folgt
.
Es sei
mit
. Weil
direkte Summe der
ist, folgt daraus mit
auch
, deshalb ist
-
für alle
![{\displaystyle {}i\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cbb055112c7c009ef444adc093f11a0d9900ebc)
. Aus diesem Grund können wir
![{\displaystyle {}r_{i}=ps_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b26a0733b0d33b56e16a7d7000db64ee08e5450)
schreiben, mit
![{\displaystyle {}s_{i}\in R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65a8ec6df48ffb3babfa32dff0c0eeb20c6abb56)
. Daraus folgt mit
![{\displaystyle {}0=\sum r_{i}x_{i}=0=\sum s_{i}(px_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffddd543d39bf787e50155dae17d79c77c1c0532)
auch
![{\displaystyle {}s_{i}(px_{i})=r_{i}x_{i}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f9dbc5d7bbe0a0f1bfa219dda73725b972126b)
.
Deshalb ist der Untermodul
direkte Summe der zyklischen Moduln
.
Es sei nun
beliebig. Dann ist
. Deshalb gilt für
zum Einen
und zum Anderen
, und daher
.
Es gilt daher
.
Der Restklassenmodul
ist
isomorph zu einem
Untermodul
des
-Sockels
, weil
nach
Fakt ein
Vektorraum über dem
Körper
ist. Folglich ist auch
ein Vektorraum über
. Als Vektorraum besitzt
eine
Basis und damit eine direkte Summenzerlegung in zyklische Moduln über
. Dies liefert auch zyklische Primärmoduln über
.
Daher besitzt
eine direkte Zerlegung in zyklische Primärmoduln.