Ein normales torisches positives Monoid besitzt die Form
-
![{\displaystyle {}M=C\cap \Gamma \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfb8ca980901604cfb4fcea23f89a58ac9fe7266)
mit einem positiven rationalen polyedrischen Kegel und dem Gitter
.
Es sei
die Dimension von
und seien
die Facetten von
. Zu jeder Facette
gibt es eine integrale Linearform
-
deren Kern
enthält, die im Innern des Kegels positiv ist und die surjektiv ist. Diese Linearformen liefern auf dem Monoidring
die Bewertungen, die zu den torischen Primidealen der Höhe
, die den Facetten entsprechen, gehören. Diese Linearformen definieren zusammengenommen einen injektiven Monoidhomomorphismus
-
die wiederum einen injektiven Ringhomomorphismus
-
ergibt. Dieser ist ein direkter Summand, und zwar ist
der Ring der nullten Stufe des Polynomrings unter der Graduierung, die zu
gehört
(
ist die Divisorenklassengruppe des Monoidringes). Man hat also insbesondere eine Zerlegung
-
![{\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{r}]=\bigoplus _{d\in D}K[X_{1},\ldots ,X_{r}]_{d}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98bdca87672552a206860315bab7b493d5971f47)
mit
-
![{\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{r}]_{0}=K[M]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fa149bee64c60ec49756dabee847afec3166322)
Die Projektion auf die
-te Komponente nennen wir
.
Über die Abbildung
erhält man gemäß
Fakt
aus den zusammengesetzten partiellen Ableitungen
(bzw.
)
auf dem Polynomring Differentialoperatoren auf
. Insbesondere erhält man für jedes Monom
einen „zugehörigen“ kanonischen Differentialoperator
durch
-
![{\displaystyle {}E_{\nu }:=\pi \circ {\frac {\partial ^{\ell (\nu )}}{\ell (\nu )!}}\circ \ell \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf679059435ce5f21f7d1887b35fbed461162227)
Die Wirkungsweise von
ist
(zu
, man könnte auch
schreiben)
-
![{\displaystyle {}E_{\nu }(\lambda )={\begin{cases}{\frac {\ell (\lambda )!}{\ell (\lambda -\nu )!\ell (\nu )!}}(\lambda -\nu ){\text{ falls }}\lambda -\nu \in M\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cb3b6a8f6fd67f6dfc429b8907d6a8d97f23c5)
Dies beruht auf
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}E_{\nu }(\lambda )&=\pi {\left({\frac {\partial ^{\ell (\nu )}}{\ell (\nu )!}}{\left(X^{\ell (\lambda )}\right)}\right)}\\&={\begin{cases}\pi {\left({\frac {\ell (\lambda )!}{\ell (\lambda -\nu )!\ell (\nu )!}}X^{\ell (\lambda -\nu )}\right)}\\0\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\frac {\ell (\lambda )!}{\ell (\lambda -\nu )!\ell (\nu )!}}{(\lambda -\nu )}\\0\,,\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77e8ac4329cebfa6d35901c86df34b6aa43d2634)
wobei die erste Alternative genau dann gilt, wenn
in jeder Komponente gilt, was zu
äquivalent ist. Die Ordnung des Differentialoperators
ist
. Es ist
-
![{\displaystyle {}E_{\nu }(\nu )=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0165f4fae9c11a935bf10bed44f02d09a31b498f)
Insbesondere gibt es also zu jedem Monom in
einen unitären Operator, der dieses Monom auf
abbildet. Dies überträgt sich
(in Charakteristik
unmittelbar)
auf beliebige Elemente
eines torischen Monoidringes. Allerdings ist, im Gegensatz zum Polynomring, die Ordnung der zu einem Monom gehörigen unitären Differentialoperatoren komplizierter, nämlich über
, zu bestimmen. Durch
ist eine natürliche positive
-Graduierung auf einem Monoidring gegeben.