Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch kleine Potenzen

Einführung

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Der Begriff der topologisch kleinen Potenzen verallgemeinert den Begriff der kleinen Potenzen und den Begriff der topologischen Nullteiler in einer Definition zusammen, wobei die topologische Nullteiler und auch Elemente mit kleinen Potenzen jeweils auch Element mit topologisch kleinen Potenzen sind.

Definition - Topologisch kleine Potenzen

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Sei   eine topologische Algebra und   das System von offenene Mengen auf  . Da eine topologische Algebra nicht notwendig kommutativ ist, unterscheidet man rechtseitige und linkseitige topologisch kleine Potenzen.

Definition: Rechtsseitig topologisch kleine Potenzen

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Man nennt   besitzt rechtsseitige topologisch kleine Potenzen in   (Bezeichnung:  ), falls es eine Nullumgebung   gibt, sodass für alle Nullumgebungen   ein   existiert, sodass für alle   gilt:

 

Definition: Linksseitig topologisch kleine Potenzen

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  besitzt linksseitig topologisch kleine Potenzen in   (Bezeichnung:  ), ffalls es eine Nullumgebung   gibt, sodass für alle Nullumgebungen   ein   existiert, sodass für alle   gilt:

 

Definition: topologisch kleine Potenzen

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  besitzt topologische kleine Nullteiler (Bezeichnung:  ), falls   rechtseitig oder linkseitig topologisch kleine Potenzen besitzt (siehe auch Verallgemeinerungen von topologischen Nullteilern[1]).

Lemma: Topologisch kleine Potenzen und Gaugefunktionale

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Sei  . Ein Element   besitzt genau dann rechtsseitig topologisch kleine Potenz, wenn es ein   gibt, so dass für alle   ein   mit

 

existiert, so besitzt   topologisch kleine Potenzen (Bezeichnung:  ).

Bemerkung - Gaugefunktionale

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Wie man schon bei der Definition der topologischen Nullteiler sehen konnte, ist die Formulierung von topologischen Eigenschaften, die im Zusammenhang mit algebraischen Eigenschaften stehen (z.B. Idealeigenschaft, Invertierbarkeit, ...), über Gaugefunktionale für die Beweisführung in der Regel angenehmer als der Umgang mit offenen Mengen. Daher ist obige Definition über offene Mengen und Nullumgebungen ebenfalls in eine äquivalente Formulierung über angegeben werden.

Beweisaufgabe für Studierende

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Beweisen Sie die Äquivalenz der  -Aussage über offene Mengen und Gaugefunktionale!

Satz - TKP und Gaugefunktionale

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Sei   und   gegeben. Wenn es ein   gibt, so dass für alle   ein   mit

 

existiert, so ist   ein  -singuläres Element.

Bemerkung - Negation der Singularitätbedingung

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Der obige Satz zeigt, dass Elemente   immer  -singulär sind. Der Beweis wird für die Kontraposition der obigen Aussage geführt, indem man annimmt, dass ein Element   ein  -reguläres Element ist, und dann   gilt und die folgende Ungleichung liefert.

Regularitätsbedinung als Negation der TKP-Eigenschaft

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Insgesamt erhält man mit   die Aussage, dass es für alle   ein   und Konstanten   gibt, sodass für alle   gilt (siehe PC-Regularität):

 

Beweis - Satz TKP-Eigenschaft Gaugefunktionale

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Der obige Satz wird über die Kontraposition bewiesen und die Eigenschaften der Hömöomorphie der Einbettung bzgl. einer Algebraerweiterung, in der ein   invertierbar ist.

Bemerkung - Permanente Ideal

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Diese Regularitätsbedingung wird im weiteren Verlauf noch besondere Bedeutung besitzen, denn diese liefert eine allgemeinere Klassifizierung von permanenten Idealen aus geeignet gewählten Elementen mit dieser Eigenschaft. Deshalb wird die Eigenschaft der topologisch kleinen Potenzen definiert.

Satz: KP-TNT-Summen

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Sei  , dann besteht die Menge

 

aus  -singulären Elementen.

Beweis - KP-TNT-Summen

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Der Beweis zur obigen Aussage wurde von Zelazko (1983) [2] über permanente Radikale in kommutativen lokalkonvexen Algebren formuliert. Der angegebene Beweis des Satzes über Gaugefunktionale soll zeigen, dass Elementen   in sogar in beliebigen topologischen Algebren permanent singuläre Elemente sind.

Korrollar: TNT-KP-TKP

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Sei  , dann gilt:

 

Offene Frage

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Welche Voraussetzungen müssen für die Topologie gelten, damit

 

erfüllt ist? Welche Klassen von Algebren erfüllen die Bedingung  ? Für lokalbeschränkte Algebren, also insbesondere Banachalgebren, erhält man die Gleichung  , denn für   gilt:

 

Siehe Satz zur Charakterisierung von  -regulärem Elementen.

Bemerkung: Resultat basieren auf dem Konzept von permanenten Radikalen

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Der Satz über Summen

  • von Elementen mit kleine Potenzen und
  • topologische Nullteiler

wurde bereits von Zelazko (1983)[3] formuliert. Der Beweis wurde dort aber nur für kommutative lokalkonvexe Algebren geführt und erforderte in dem Artikel Ergebnisse aus der Theorie über permanente Radikale. Der oben angegebene Beweis zeigt, dass die von Zelazko bewiesene Formulierung der Summen von Elementen aus   bzw.   auch für topologische Algebren allgemein über Gaugefunktionale bewiesen werden kann.

Bemerkung: Dreiecksungleichung in lokalkonvexen Räumen

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Der von Zelazko geführte Beweis für kommuntative lokalkonvexe Algebren, kann auch vereinfacht werden, wenn man die folgende Subadditivität von  -Funktionalen ausnutzt, wie z.B.

 

Aufgabe für Studierende

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  • Formulieren Sie den obigen Satz in   bzw.  -Algebren für Halbnormen bzw. Quasihalbormen und erläutern Sie, wie sich die Abschätzung vereinfachen.
  • Formulieren Sie den obigen Satz in   bzw.  -Algebren für submultiplative Halbnormen bzw. submultiplative Quasihalbormen und erläutern Sie, wie sich die Abschätzung vereinfachen.
  • Betrachten Sie das Vorgehen im Beweis und analysieren Sie, welche Bedeutung die Kommuntativität hat. Kann man den Beweis ebenfalls ohne die von Zelazko verlangte Kommuntativität<ref name="LCsingZelazko"> der Multiplikation führen?

Bemerkung: K-reguläre Elemente und TKP-Eigenschaft

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Wenn ein Element   topologisch kleine Potenzen besitzt ist es permanent singulär in jeder  -Erweiterung der gegebenen Algebra   und umgekehrt kann  -reguläres Element  , das in einer  -Algebraerweiterung   invertierbar ist, keine topologisch kleinen Potenzen besitzen. Kernfrage ist, ob ein Element, das keine topologisch kleinen Potenzen besitzt, dann auch in einer  -regulär ist.

Satz: Stetigkeitssequenzen K-Regularität

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Sei   und  , dann gibt es für alle  , ein  , eine Folge   von Gaugefunktionalen mit Konstanten   mit  , für die folgende Bedingungen gelten:

  • (SK1)   für alle   und  ,
  • (SK2)   für alle   und  .

Der Beweise des Satzes über Stetigkeitssequenzen bei K-Regularität erfolgt wieder über die Kontraposition, dass man annimmt, dass ein Element  -regulär ist.

LC-Regularität

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Die obige Aussage ist sogar äquivalent zur  -Regularität in kommutativen lokalkonvexe Algebren. Der Beweis des Satzes erfolgt analog zum Satz, der die TKP-Eigenschaft über Gaugefunktionale charakterisiert.

Für alle   gibt es wegen der Stetigkeit der Multiplikation ein   mit

 

TGP-Bedingung

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Zu   existieren aufgrund der Eigenschaft von  , topologisch große Potenzen zu besitzen, ein   mit

 

und positiven Konstanten  . Setzt man  , dann ist   eine antitone Folge von (nicht notwendigerweise unitalen) Teilalgebren von  .

Vielfachenmengen von Potenzen

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Auf den Vielfachenmengen   von Potenzen   werden mit   für  ,   und   folgende Abbildungen definiert:

 

Wohldefiniertheit der Abbildung

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Zur Wohldefiniertheit der Abbildung: Da   keine topologisch kleinen Potenzen besitzt, ist   wegen   auch kein Nullteiler in  . Daher kann man für jedes   und jedes   genau ein   finden mit  .

Isotonie der Koeffizienten 1

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Ferner sei   eine isotone Folge mit

 

Isotonie der Koeffizienten 2

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Mit der Definition der   ist auch   eine isotone Folge. Für   und   gilt:

 

und

 

Abschätzung Gaugefunktionaleigenschaft

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Es bleibt noch zu zeigen, dass man das Gaugefunktional   zu einem Gaugefunktional   mit den geforderten Eigenschaften (SK1) und (SK2) auf ganz   erweitern kann. Man definiert Abbildungen   mit

 

Erweiterung von der Vielfachenmenge auf die Algebra

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Nun wird mit der Abbildung   das Gaugefunktional   für   wie folgt definiert:

 

Da   für alle  , erhält man mit   auch die Ungleichung  .

Beschränktheit der Gaugefunktionale

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Ferner können die Gaugefunktionale   durch ein Gaugefunktional   mit positiven Konstanten   beschränkt werden, denn mit   gilt:

 

Abschätzung bzgl. Produkte mit z

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Die Abschätzung   für   überträgt sich auch auf die erweiterten Funktionale, denn man erhält mit   und  

 

Eigenschaft Gaugefunktionalsequenz

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Insgesamt ergeben sich die Behauptungen (SK1) und (SK2) für die Gaugefunktionalsequenz.  

Bemerkung

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Die Bedingungen (SK1) und (SK2) aus Satz über  -reguläre Elemente kann man für ein  -reguläres Element   auch unmittelbar erhalten.

Satz: TKP und K-Regularitätseigenschaften

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Sei   und ein  -reguläres Element   gegeben, dann gibt es zu jedem   eine Folge   von  -Funktionalen mit Konstanten  ,   und ein   mit

  •   für alle   und  ,
  •   für alle  ,  .


Durch geeignet gewählte Vielfache der  -Funktionale erhält man ebenfalls die bereits bekannten Abschätzungen   und  .

Korrollar

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Sei   und ein  -reguläres Element   gegeben, dann gibt es zu jedem   eine Folge   von  -Funktionalen mit Konstanten   und ein   mit

  •   für alle   und  ,
  •   für alle  ,  .


Siehe auch

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Quellennachweise

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  1. Zelazko, Wiezlaw (1985) Topological divisors of zero, their applications and generalization.Geometry seminars, (Italian) (Bologna, 1985), 175–191, Univ. Stud. Bologna, Bologna, 1986
  2. Zelazko Wieslaw, On permanent radicals in commutative locally convex algebras, Studia Math. 75 (1983), S. 265-272
  3. Zelazko Wieslaw, (1983), On permanent radicals in commutative locally convex algebras, Studia Math. 75 S. 265-272

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