Normierter Vektorraum/Separabel/Äquivalente Formulierungen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich aus Fakt. Wenn (2) erfüllt ist, so besitzt natürlich der durch eine abzählbare dichte Punktmenge erzeugte Untervektorraum eine abzählbare Basis und ist dicht. Es sei (3) erfüllt mit

und dicht. Wir nehmen an und behaupten, dass der -Vektorraum , der nach Fakt abzählbar ist, eine dichte Teilmenge von ist. Es sei dazu eine offene Umgebung eines Punktes . Es gibt dann ein Element

mit endlich mit Elementen und . Es sei eine obere Schranke für , . Wenn man in die reellen Koeffizienten durch rationale Koeffizienten mit

ersetzt, so erhält man das Element innerhalb von . Es ist ja