Numerische Monoidringe/Unitäre Differentialoperatoren/Textabschnitt


Auf der Neilschen Parabel, die durch die numerische Halbgruppe

gegeben ist, lassen sich zu jedem Monom , , direkt unitäre Differentialoperatoren rational angeben. Wir betrachten . Dies schickt auf , ist aber nur eine rationaler Operator, da

Diesen Umstand kann man aber durch einen Korrekturterm einfach beheben. Wir betrachten

der Koeffizient rechts ist so gewählt, dass insgesamt auf abgebildet wird. Der Term wird nach wie vor auf abgebildet. Monome der Form , , werden auf skalare Vielfache von abgebildet, das Bild gehört also zum Ring. Somit ist der angegebene Operator ein unitärer Operator für auf .

In der gleichen Weise ergeben sich unitäre Operatoren für , , man kann stets

nehmen.


In derselben Weise kann man zu jeder numerischen Semigruppe für jede Potenz unitäre Operatoren angeben. Zu , , startet man mit . Dann betrachtet man das nächstgrößte Element, sagen wir . Bei

muss man nichts hinzunehmen. Wenn dies aber nicht zu gehört, so nimmt man

wobei der Koeffizient so zu wählen ist, dass das Gesamtergebnis des Operators, angewendet auf , gleich ist. Man fährt induktiv mit dem nächsten fort. Die Hinzunahme der neuen Summanden ändert die Werte des Operators auf den kleineren Potenzen nicht. Jeder Summand hat dabei den Grad . Wenn , wobei die Führungszahl von ist, so landet aus Gradgründen in und man ist fertig.