Es sei
ein
Eigenvektor
von
zum
Eigenwert
. Da eine obere Dreiecksmatrix vorliegt, bedeutet dies
-
![{\displaystyle {}d_{11}x_{1}+\cdots +d_{1n}x_{n}=tx_{1}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34737d637458bfcd841f88f92d6d666b6f7a7cc2)
-
![{\displaystyle {}d_{22}x_{2}+\cdots +d_{2n}x_{n}=tx_{2}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7211a9feadef1d1c04e0a57d656827b92b1b657b)
-
-
![{\displaystyle {}d_{n-1\,n-1}x_{n-1}+d_{(n-1)n}x_{n}=tx_{n-1}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cf8833e60308cb57f0c6b52339772dff4e2bf57)
-
![{\displaystyle {}d_{nn}x_{n}=tx_{n}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bcab5f8ebb1ec86bd2122ca469cb2b779c1d4b8)
Es sei
der größte Index mit
, was es gibt, da ein Eigenvektor nicht der Nullvektor ist. Dann vereinfacht sich die
-te Gleichung
-
![{\displaystyle {}d_{kk}x_{k}+\cdots +d_{kn}x_{n}=tx_{k}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a35400abba9443c6e27143cf2f64fa628cb58f79)
zu
-
![{\displaystyle {}d_{kk}x_{k}=tx_{k}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c3e046f58e4f6fc2ec2501c450976015a817a48)
und wegen
-
![{\displaystyle {}x_{k}\neq 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eac30d021bd78e2dc553987c3e86b060105c6a5a)
folgt
-
![{\displaystyle {}t=d_{kk}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d9bb748ec321f9ebbf9235d089bbb28ae332de)
d.h. dass der Eigenwert
![{\displaystyle {}t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66fcb044f136fad07b5d83cbe53ba21a9799c2e)
ein Diagonalelement ist.