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Periodische Funktion/Komplexe Exponentialfunktion/Orthonormalsystem/L^2-Raum/Fakt/Beweis
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<
Periodische Funktion/Komplexe Exponentialfunktion/Orthonormalsystem/L^2-Raum/Fakt
Beweis
Es ist
⟨
f
m
,
f
n
⟩
=
∫
0
T
f
m
f
n
¯
d
x
=
∫
0
T
1
T
e
ω
i
m
x
1
T
e
ω
i
n
x
¯
d
x
=
1
T
∫
0
T
e
ω
i
m
x
e
−
ω
i
n
x
d
x
=
1
T
∫
0
T
e
ω
i
(
m
−
n
)
x
d
x
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle f_{m},f_{n}\right\rangle &=\int _{0}^{T}f_{m}{\overline {f_{n}}}dx\\&=\int _{0}^{T}{\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }mx}{\frac {1}{\sqrt {T}}}{\overline {e^{\omega {\mathrm {i} }nx}}}dx\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}e^{\omega {\mathrm {i} }mx}e^{-\omega {\mathrm {i} }nx}dx\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}e^{\omega {\mathrm {i} }(m-n)x}dx.\end{aligned}}}
Bei
m
=
n
{\displaystyle {}m=n}
ist dies
1
T
∫
0
T
e
0
d
x
=
1
T
∫
0
T
1
d
x
=
1
.
{\displaystyle {}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}e^{0}dx={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}1dx=1\,.}
Bei
m
≠
n
{\displaystyle {}m\neq n}
ist dies
1
T
∫
0
T
e
ω
i
(
m
−
n
)
x
d
x
=
1
T
ω
i
(
m
−
n
)
(
e
ω
i
(
m
−
n
)
x
)
|
0
T
=
1
2
π
i
(
m
−
n
)
(
e
T
ω
i
(
m
−
n
)
−
e
0
)
=
1
2
π
i
(
m
−
n
)
(
e
2
π
i
(
m
−
n
)
−
e
0
)
=
1
2
π
i
(
m
−
n
)
(
1
−
1
)
=
0.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}e^{\omega {\mathrm {i} }(m-n)x}dx&={\frac {1}{T\omega {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(e^{\omega {\mathrm {i} }(m-n)x}\right)}{|}_{0}^{T}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(e^{T\omega {\mathrm {i} }(m-n)}-e^{0}\right)}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}-e^{0}\right)}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(1-1\right)}\\&=0.\end{aligned}}}
Zur bewiesenen Aussage