Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra

Einführung

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Für den multiplikativen algebraischen Abschluss einer Algebra  , die ein zusätzliches Element   enthält, müssen auch

  • multiplikative Verknüpfung mit sich wieder in einer Algebra liegen (d.h. also auch   mit  , wobei   definiert wird) und auch
  • die beliebige multiplikative Verknüpfungen von   mit Elementen aus, d.h.   wieder in   liegen.
  • der additive algebraische Alschluss verlangt auch schließlich, dass Polynome mit Koeffizienten aus   als algebraischer Abschluss entsteht.

Mit einem System aus topologieerzeugenden Gaugefunktionalen kann man dann einen topologischen Abschluss der Polynomalgebra definieren.


Definition: Potenzreihenalgebra

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Sei   die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in   der Form

 

Bemerkung

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Die Notation von   kann dabei nichts über die Konvergenz einer Reihe aussagen, denn dazu ist eine Topologisierung der Algebra notwendig.   definiert rein algebraisch eine Potenzreihe mit beliebigen Koeffizienten aus der Algebra  .

Potenzreihe als Folge von Partialsummen

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Für ein feste   fasst man   als Folge der Partialsummen auf

 

Cauchy-Produkt

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  wird analog zur Polynomalgebra die Cauchymultiplikation von zwei Potenzreihen   als multiplikative Verknüpfung wie folgt definiert.

 

Konstanten als Potenzreihen

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Ein Element   kann mit dem konstanten Polynom   identifiziert werden.

Gleichheit von Potenzreihen

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Seien zwei Potenzreihen   gegeben mit:

 

Die Gleichheit von Potenzreihen   wird über die Koeffizientengleichheit definiert:

 

Bemerkung - Gleichheit

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Die Gleichheit von Potenzreihen bzw. Polynomen muss man nicht notwendigerweise über die Koeffizientengleicheit definieren, sondern kann auch über die Gleichheit der Bilder   für alle   aus dem Definitionsbereich  .

Beispiel - Gleichheit

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Verwendet man z.B. den Restklassenring   modulo 3 als Definitionsbereiches eines Polynoms, so unterscheidet sich das Polynom

 

vom Nullpolynom bzgl. der Koeffizienten von   und  . Dennoch gilt für alle   die Bedingung  .

Verwendung in dieser Lerneinheit

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Im weiteren Lerneinheit zu topologischen Invertierbarkeitskriterien soll die Gleichheit der Potenzreihen bzw. Polynome dann und nur dann gegeben sein, wenn zwei Polynome koeffizientengleich für alle Koeffizienten von   ist.

Topologische Potenzreihenalgebra

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Sei   eine Algebra und   die Algebra der Potenzreihen mit Koeffizienten in  . Ferner sei ein System aus Gaugefunktionalen   definiert, wird dann mit   bezeichnet man mit   den topologischen Abschluss der Polynomalgebra  . bzgl. des Gaugefunktionalsystems definiert, dass jeder Potenzreihe  . Dabei geören alle   zu  , wenn folgende Bedingung gilt   für alle  .

Induzierte Topologien von der Algebra auf die Potenzreihenalgebra

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Sei   eine topologische Algebra der Klasse  . Ferner sei zu jedem   und   eine positive Konstante   und ein  -Funktional   gewählt, durch dass die folgenden Gaugefunktionale bzw.  -Gaugefunktionale auf dem Vektorraum aller Potenzreihen mit Koeffizienten in   definiert werden:

 

Topologischer Abschluss der Polynomalgebra bzgl. Gaugefunktionalsystem

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Mit   bezeichnet man dann den topologischen Abschluss von   bzgl.  , d.h. Vektorraum aller Potenzreihen mit Koeffizienten in  , die zusätzlich folgende Bedingung erfüllen:

 

Topologisierung der Potenzreihenalgebra und Algebraerweiterung

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Die Potenzreihenalgebra   wird nun in einer Weise topologisiert, die von dem Gaugefunktionalsystem auf   abhängt. Diese Vorgehen ist notwendig, damit man für die Konstruktion der Algebraerweiterung   die Algebra   in   einbetten kann. D.h. die unitale Algebra   aus einer Klasse   wird in die Algebraerweiterung   durch einen Algebraisomorphismus   eingebettet:

  •  , wobei   ist das Einselement von   und   das Einselement von   ist.
  •   ist homöomorph zu  ; d.h.   und   sind stetig.

Bemerkung: Stetigkeit Algebraisomorphismus

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Die Stetigkeit des Algebraisomorphismus und der Umgekehrabbildung   von wird später über die Gaugefunktionalsysteme auf   und der von   auf   induzierten Relativtopologie nachgewiesen.

Lemma: Isotone Folge von Gaugefunktionalen

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Sei   und es seien   isotone Folgen von Gaugefunktionalen mit Koeffizienten  , für die gelten:

  •   für alle  
  •   für alle   und  
  •   für alle   und  
  •   für alle   und  .

Voraussetzung 2 - Gaugefunktionalsysteme auf Potenzreihenalgebra

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Auf   seien folgende vier Systeme  ,  ,  ,   von Gaugefunktionalen für   definiert:

Voraussetzung 2 - Definition der Gaugefunktionalsysteme

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  •  
  •  
  •  
  •  

Folgerung - Topologieerzeugung

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Mit den obigen Voraussetzungen erzeugen die Systeme auf   die gleiche Topologie. Insbesondere erhält man zu einem festen   für alle 4 gewählten Teilsysteme von Gaugefunktionalen  ,\dots ,  . das gleiche Teilsystem   offener Mengen der Topologie  .

Es gilt für alle  ,   und   folgende Ungleichungskette:

 

Damit stimmen die Teilsysteme für ein festes  , also auch die Ausgangstopologie überein. q.e.d.

Gleichheit von Partialsummen von Potenzreihen

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Die Koeffizienten der Elemente von   kann man auch über die Partialsummen eindeutig bestimmen. Dabei sind die Partialsummen eindeutig als Linearkombinationen in   mit   definiert. Allerdings müssen die Partialsummen als Folge in   nicht notwendig konvergieren.

Koeffizientenvergleich bei Partialsummen 1

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Koeffizientenvergleich bei Partialsummen 2

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Da   ein Hausdorffraum ist, gilt auch   für alle  .

Definition: Potenzreihenalgebra

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Sei   eine Algebra und   die Algebra aller Potenzreihen mit Koeffizienten in   mit Cauchymultiplikation. Die Partialsumme bis zum Grad   einer Potenzreihe   ist folgendes Polynom:

 

Definition: Partialsummentopologie

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Sei   eine Polynomalgebra. Dann bezeichnet   das System der Partialsummenfunktionale von   die mit

 

Die durch   erzeugte Topologie heißt Partialsummentopologie von   auf  .

Bemerkung

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Die Partialsummentopologie ist gröber als die von   erzeugte Ausgangstopologie, denn für   gilt:

 

Die Partialsummentopologie erhält man, wenn man die einzelnen Gaugefunktionale aus   mit den Projektionen   auf die ersten   Summanden des Polynoms verkettet und als topologieerzeugende Funktionale auf   wählt.   sei dabei beliebig gewählt. Das folgende Lemma zeigt die Eindeutigkeit der Faktorisierung von beliebigen Elementen   durch   und einer zu   gewählten formalen Potenzreihe  .

Aufgaben

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In den folgenden Aufgaben werden einige kleiner Übungen zur Berechnung von

Norm - Matrixalegbra - Topologisierung Potenzreihenalgebra

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Gegeben sind die beiden Matrizen

 

mit dem Einselement   in der Algebra  .   ist mit der Norm

 

ein normierter Raum.

  • Zeigen Sie, dass die Potenzreihe   und der Norm   nicht in   liegt.
  • Berechnen Sie   und   mit   bzw. den oben definierten Koeffizienten in .
  • Berechnen Sie für die Potenzreihe   mit   die Matrix  !

Raum der reellwertigen stetigen Funktionen

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Wir betrachten Definitionsbereiches  , der die Algebra   der stetigen Funktionen von   nach   mit den Halbnormen (siehe auch Normen, Metriken, Topologie):

 

wird   zu einem lokalkonvexen topologischen Vektorraum.

  • Topologisieren Sie die Polynomalgebra   mit einem Halbnormensystem  , das Sie mit   definieren.
 .
Hinweis: wählen Sie für die   z.B. eine geometrische Reihe
  • Zeigen Sie, dass die Halbnormen   submultiplikativ sind, d.h.  !
  • Wählen Sie die Koeffizienten   so, dass das Polynom   mit   für alle   ein Element von der Potenzreihenalgebra   ist. Das Polynom   ist damit eine Potenzreihe, bei der alle Koeffizienten   die cos-Funktion ist. Wählen Sie z.B.   und berechnen Sie   für alle  . Welche Eigenschaft muss die Koeffizientenfolge   allgemein besitzen, damit   für alle   liefert, also für alle   einen endlichen Wert der Halbnormen leifert.
  • Wählen Sie für die Koeffzientenfolge als eine   eine geometrische Reihe mit   und   und zeigen Sie, dass
 
mit dem Cauchy-Produkt auf   erfüllt ist.

Faktorisierungslemma für zt-e

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Sei   eine unitale Algebra mit Einselement   und   beliebig gewählt.   ist mit der Cauchymultiplikation eine Algebra, in der gilt:

 

  ist zu jedem   eindeutig bestimmt.

  ist ein unitaler Ring und   mit  . Wir zeigen nun, dass   invertierbar ist.

Inverses Element von zt-e

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Man definiert zunächst über das gegebene   ein Polynom   mit:

 

Wir berechnen nun   über

 

Definition der gesuchten Potenzreihe

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Damit definiert man  .


Eindeutigkeit der Potenzreihe

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Eindeutigkeit von  : Seien   gegeben, die die Eigenschaft   besitzen. Für   erhält man:

 

q.e.d.

Bemerkung

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Die Koeffizienten der Elemente von   sind eindeutig bestimmt, denn sei:

 

Da   ein Hausdorffraum ist, gilt auch   für alle  .

Bemerkung

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Die Partialsummentopologie ist gröber als die von   erzeugte Ausgangstopologie, denn für   gilt:

 

Die Partialsummentopologie erhält man, wenn man die einzelnen Gaugefunktionale aus   mit den Projektionen   auf die ersten   Summanden des Polynoms verkettet und als topologieerzeugende Funktionale auf   wählt.   sei dabei beliebig gewählt.


Das folgende Lemma zeigt die Eindeutigkeit der Faktorisierung von beliebigen Elementen   durch   und einer zu   gewählten formalen Potenzreihe  .

Siehe auch

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