Wir betrachten auf der
projektiven Geraden
die Flächenform
bzw.
auf der affinen Standardüberdeckung
bzw. auf
. Wegen
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}dz^{-1}\wedge d\,{\overline {z^{-1}}}&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {-1}{z^{2}}}dz\wedge {\overline {dz^{-1}}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {-1}{z^{2}}}dz\wedge {\frac {-1}{{\overline {z}}^{2}}}d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {-1}{z^{2}}}\cdot {\frac {-1}{{\overline {z}}^{2}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {1}{z^{2}{\overline {z}}^{2}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {1}{\vert {z}\vert ^{4}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z}\vert ^{4}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c0059692e23266f20e778f992fc8775f5c71fd)
stimmen die Flächenformen auf dem Durchschnitt überein, es handelt sich also um eine wohldefinierte positive Flächenform
auf der projektiven Geraden.
Wir verfolgen diese Form in der langen exakten Kohomologiesequenz zur kurzen exakten Garbensequenz
-
aus
Fakt.
Auf den beiden offenen Mengen ist die Flächenform
die äußere Ableitung einer
-Form. Auf
ist nach
Aufgabe
-
ein Urbild und auf
entsprechend
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}-{\frac {1}{w}}\arctan {\left(w{\overline {w}}\right)}dw&=-z\arctan {\left({\left(z{\overline {z}}\right)}^{-1}\right)}dz^{-1}\\&={\frac {1}{z}}\arctan {\left({\left(z{\overline {z}}\right)}^{-1}\right)}dz.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5839f750ce720fc9511bf1578ee2b2544f44e6)
Aufgrund der Potenzreihenentwicklung sind diese
-Formen jeweils auf
bzw. auf
definiert. Die Differenz der beiden Formen ist unter Verwendung von
Aufgabe
gleich
-
![{\displaystyle {}{\frac {1}{z}}{\left(\arctan {\left(z{\overline {z}}\right)}+\arctan {\left({\left(z{\overline {z}}\right)}^{-1}\right)}\right)}dz={\frac {\pi }{2}}\cdot {\frac {dz}{z}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22618eb6a9f748a5733dcf96f98898050704c75f)
In dieser Form beschreibt diese Differenz, aufgefasst als holomorphe Differentialform auf
eine nichttriviale Kohomologieklasse in
.
Unter Verwendung von
Aufgabe
ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}\sigma &=\int _{U}{\frac {1}{1+\vert {z}\vert ^{4}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&=-2{\mathrm {i} }\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\frac {1}{1+{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}dx\wedge dy\\&=-{\mathrm {i} }\pi ^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d7d780d4172d626c1cf983dd2247ddeb78495d8)
Das Residuum der zugehörigen Kohomologieklasse ist somit
-
![{\displaystyle {}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}{\left(-{\mathrm {i} }\pi ^{2}\right)}=-{\frac {\pi }{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fcf4c2265854b26248dbec9bc740cb83ea03f48)