Es sei
ein
algebraisch abgeschlossener Körper.
Wir betrachten den
Ringhomomorphismus
-
zu
,
der der Abbildung
-
entspricht. Zu einem maximalen Ideal
ist
-
![{\displaystyle {}\varphi ^{-1}(X-a)=(Y-a^{n})\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3905bdb08e03123d2ab15b927660b713f30464d)
und oberhalb von
liegen die maximalen Ideale
mit
-
![{\displaystyle {}a^{n}=b\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ba34057655dc9c217846dc4e8e89258f04dd66)
Dies ist die idealtheoretische Interpretation der
-ten Potenzierung. Insbesondere liegen die Ringhomomomorphismen
-
zwischen
diskreten Bewertungsringen
vor. Dabei wird die Ortsuniformisierende
auf
-
![{\displaystyle X^{n}-b=X^{n}-a^{n}=(X-a)(X^{n-1}+X^{n-2}a^{1}+\cdots +Xa^{n-2}+a^{n-1})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9ffef031eb1183dc87db442f99b9df2e469b4f9)
abgebildet. In dieser Produktdarstellung ist der linke Faktor die Ortsuniformisierende des zweiten Bewertungsringes. Der zweite Faktor wird, wenn man für
die Zahl
einsetzt, zu
. Wenn
und
beide Einheiten in
sind,
so ist dieser Faktor eine Einheit in
und daher ist die
Verzweigungsordnung
gleich
, es liegt also keine Verzweigung vor. Wenn hingegen
keine Einheit ist, wenn also die
Charakteristik
von
ein Teiler von
ist, so liegt Verzweigung vor. Wenn
die positive Charakteristik ist, so ist
und die Verzweigungsordnung ist in jedem Punkt gleich
. Wenn
ist, so ist die Verzweigungsordnung direkt gleich
im Nullpunkt.