Dass eine totale Ordnung vorliegt wird in
Aufgabe
gezeigt. Es sei
,
und
mit positiven Nennern
. Durch Übergang zu einem gemeinsamen Hauptnenner können wir direkt
annehmen. Sei
-
![{\displaystyle {}x\geq y\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9b082821cb777a28c14eb7aa28078dd31c3f800)
also
-
![{\displaystyle {}a\geq c\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f9c8129f0a6dda593fddaa8dee1be8e7746688d)
Dann ist
nach Fakt (2)
auch
-
![{\displaystyle {}a+e\geq c+e\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23217bb6b068b587581bb44adce5647300986254)
und somit ist
-
![{\displaystyle {}x+z={\frac {a}{b}}+{\frac {e}{b}}={\frac {a+e}{b}}\geq {\frac {c+e}{b}}={\frac {c}{b}}+{\frac {e}{b}}=y+z\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c954620821846ab808e9217e070f6542b91c5fc)
Wenn die beiden Brüche
und
beide
sind, so sind alle Zähler und Nenner aus
und dies überträgt sich auf
, also ist auch dies
.