Reelle Ebene/Kreis mit Radius 2/Drehung abhängig vom Betrag/Aufgabe

Wir betrachten die abgeschlossene Kreisscheibe ${}B\left(0,2\right)\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ und darauf die Abbildung

$\varphi \colon B\left(0,2\right)\longrightarrow B\left(0,2\right),\,{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\pi &-\operatorname {sin} \,{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\pi \\\operatorname {sin} \,{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\pi &\operatorname {cos} \,{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\pi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}.$

1. Zeige, dass ${}\varphi$ stetig ist.
2. Beschreibe die Wirkungsweise von ${}\varphi$ mit Worten.
3. Was sind die Fixpunkte von ${}\varphi$?
4. Wie ist die Wirkungsweise von ${}\varphi$ auf dem Einheitskreis?

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