Wir betrachten im
Rees-Modul
zu
und
,
also in
-
den graduierten
-Untermodul
-
![{\displaystyle {}\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\left({\mathfrak {a}}^{n}M\cap N\right)}\subseteq \bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}M\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/176500118af5ccd1d01dfbd6173168a270958850)
Da der Rees-Modul zu einem endlich erzeugten Modul endlich erzeugt über der Rees-Algebra ist, gibt es homogene Elemente, die diesen Untermodul erzeugen, sagen wir
-
mit
. Wir setzen
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![{\displaystyle {}m:={\max {\left(m_{j},j=1,\ldots ,s\right)}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95ae2931a356fe263083c5fa98dc09272587ef11)
und behaupten, dass die Aussage des Satzes mit diesem
gilt. Es ist also für
-
![{\displaystyle {}n\geq m\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5267141c96c4fed69de4907222381b7b94480d2d)
die Gleichheit
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {a}}^{n}M\cap N={\mathfrak {a}}^{n-m}({\mathfrak {a}}^{m}M\cap N)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1429045e7261d173ea878a2f4157b5277e0a1905)
zu zeigen, wobei die Inklusion
trivial. Es sei also
. Dann ist
-
![{\displaystyle {}v=\sum _{j=1}^{s}a_{j}v_{j}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfcfef6e3374fdd10ba1bd0af466ba070cccdc64)
mit
. Für die Summanden gilt dabei
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![{\displaystyle {}a_{j}v_{j}\in {\mathfrak {a}}^{n-m_{j}}\cdot {\left({\mathfrak {a}}^{m_{j}}M\cap N\right)}={\mathfrak {a}}^{n-m}\cdot {\mathfrak {a}}^{m-m_{j}}{\left({\mathfrak {a}}^{m_{j}}M\cap N\right)}\subseteq {\mathfrak {a}}^{n-m}{\left({\mathfrak {a}}^{m}M\cap N\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09e66d08cda4f0bb4680476c726c8d4f4e419609)
und daher gilt diese Zugehörigkeit auch für die Summe.