Rees-Algebra/Artin-Rees/Textabschnitt

Die folgende Aussage heißt Lemma von Artin-Rees.



Es sei ein noetherscher Ring, ein Ideal und ein Untermodul in einem endlich erzeugten -Modul .

Dann gibt es eine natürliche Zahl mit

für .

Wir betrachten im Rees-Modul zu und , also in

den graduierten -Untermodul

Da der Rees-Modul zu einem endlich erzeugten Modul endlich erzeugt über der Rees-Algebra ist, gibt es homogene Elemente, die diesen Untermodul erzeugen, sagen wir

mit . Wir setzen

und behaupten, dass die Aussage des Satzes mit diesem gilt. Es ist also für

die Gleichheit

zu zeigen, wobei die Inklusion trivial. Es sei also . Dann ist

mit . Für die Summanden gilt dabei

und daher gilt diese Zugehörigkeit auch für die Summe.