Restklassenringe (Z)/Chinesischer Restsatz/Fakt mit Beweisklappe

Satz

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung

${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,$

(die ${}p_{i}$ seien also verschieden und ${}r_{i}\geq 1$).

Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen ${}\mathbb {Z} /(n)\rightarrow \mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus

${}\mathbb {Z} /(n)\cong \mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\times \mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\,.$

Zu gegebenen ganzen Zahlen ${}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})$ gibt es also genau eine natürliche Zahl ${}a<n$, die die simultanen Kongruenzen

$a=a_{1}\mod p_{1}^{r_{1}},\,\,a=a_{2}\mod p_{2}^{r_{2}},\,\ldots ,\,\,a=a_{k}\mod p_{k}^{r_{k}}$

löst.

Beweis

Da die Ringe links und rechts beide endlich sind und die gleiche Anzahl von Elementen haben, nämlich ${}n$, genügt es, die Injektivität zu zeigen. Es sei ${}x$ eine natürliche Zahl, die im Produktring (rechts) zu ${}0$ wird, also modulo ${}p_{i}^{r_{i}}$ den Rest ${}0$ hat für alle ${}i=1,2,\ldots ,k$. Dann ist ${}x$ ein Vielfaches von ${}p_{i}^{r_{i}}$ für alle ${}i=1,2,\ldots ,k$, d.h. in der Primfaktorzerlegung von ${}x$ muss ${}p_{i}$ zumindest mit den Exponenten ${}r_{i}$ vorkommen. Also muss ${}x$ nach Fakt ein Vielfaches des Produktes sein, also ein Vielfaches von ${}n$. Damit ist ${}x=0$ in ${}\mathbb {Z} /(n)$ und die Abbildung ist injektiv.

$\Box$