Wir machen den Ansatz für die Partialbruchzerlegung, also
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![{\displaystyle {}{\frac {x^{2}+1}{x(x-1)(x-2)}}={\frac {\alpha }{x}}+{\frac {\beta }{x-1}}+{\frac {\gamma }{x-2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dc4a444c0abffbbce826e1b5eec63c9a20abb6f)
Multiplikation mit dem Hauptnenner führt auf
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}x^{2}+1&=\alpha (x-1)(x-2)+\beta x(x-2)+\gamma x(x-1)\\&=\alpha (x^{2}-3x+2)+\beta (x^{2}-2x)+\gamma (x^{2}-x)\\&=x^{2}(\alpha +\beta +\gamma )+x(-3\alpha -2\beta -\gamma )+2\alpha .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea773f336e3d9ff0eec4b6fcd3587b02175257f)
Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich das lineare Gleichungssystem
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![{\displaystyle {}\alpha +\beta +\gamma =1\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15256c0556e7f43f9eeba598c5f053b3ecc04e51)
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![{\displaystyle {}-3\alpha -2\beta -\gamma =0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9adf03dc909f626b2180586362b0d2622bc9fce0)
und
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![{\displaystyle {}2\alpha =1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b9510a9844e37a5a2d73a2c79ed1ec5efb8ae35)
Addition der ersten beiden Gleichungen ergibt
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![{\displaystyle {}-2\alpha -\beta =1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f1d4e1150798e7039079b1e10d6a0677085b5b6)
Also ist
,
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![{\displaystyle {}\beta =-2\alpha -1=-2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20a5c7ff0840a3287fcb1b287bbf6124798aa30f)
und
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![{\displaystyle {}\gamma =1-\alpha -\beta ={\frac {5}{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d98013cf7e8242120411109473288c45fc6a0cc3)
Somit ist
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![{\displaystyle {}{\frac {x^{2}+1}{x(x-1)(x-2)}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{x}}-2\cdot {\frac {1}{x-1}}+{\frac {5}{2}}\cdot {\frac {1}{x-2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baafabef7875df5527f98d55497a1675500c72f5)
und eine Stammfunktion ist
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