Stetige Funktion/Halbgerade/Lokales Nullteilerpaar/Aufgabe/Lösung


Wir betrachten die Zerlegung von in die unendlich vielen halboffenen Intervalle für und . Auf , , definieren wir die stetige Funktion durch

Diese Funktion hat an den Intervallgrenzen den Wert . Die Ableitung ist

das Maximum liegt also im arithmetischen Mittel der Intervallgrenzen vor und besitzt den Wert

Mit Hilfe dieser Funktionen definieren wir

und

Diese Funktionen sind stetig: Dies ist im Innern der Intervalle klar; an den Intervallgrenzen liegt stets der Wert vor; für den Nullpunkt ergibt sich die Stetigkeit, da die Funktionen auf durch beschränkt sind. Offenbar ist und für jedes sind weder noch die Nullfunktion.