Wir führen Induktion über , wobei die Fälle
klar sind. Es sei also eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen
-
gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen Körper
, ,
derart, dass
eine
Galoiserweiterung
ist, die eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen besitzt. Als Galoiserweiterung über ist nach
Fakt
der Zerfällungskörper eines
(separablen)
Polynoms . Wir können
mit
schreiben. Wir betrachten das Polynom
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Die Koeffizienten dieses Polynoms sind invariant unter der
Galoisgruppe
und gehören daher wegen
Fakt
zu . Es sei der Zerfällungskörper von über in . Dieser ist insgesamt der Zerfällungskörper vom Produkt über , sodass
insbesondere eine Galoiserweiterung ist. Nach Konstruktion ist eine Nullstelle von , woraus sich
ergibt. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen
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Diese erweitern wir sukzessive zu einer Kette
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von quadratischen Körpererweiterungen, wobei
sei und die Automorphismen von durchlaufe.