Sukzessive quadratische Erweiterung in C/In Galoiserweiterung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über , wobei die Fälle klar sind. Es sei also eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen

gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen Körper , , derart, dass eine Galoiserweiterung ist, die eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen besitzt. Als Galoiserweiterung über ist nach Fakt der Zerfällungskörper eines (separablen) Polynoms . Wir können mit schreiben. Wir betrachten das Polynom

Die Koeffizienten dieses Polynoms sind invariant unter der Galoisgruppe und gehören daher wegen Fakt zu . Es sei der Zerfällungskörper von über in . Dieser ist insgesamt der Zerfällungskörper vom Produkt über , sodass insbesondere eine Galoiserweiterung ist. Nach Konstruktion ist eine Nullstelle von , woraus sich ergibt. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen

Diese erweitern wir sukzessive zu einer Kette

von quadratischen Körpererweiterungen, wobei sei und die Automorphismen von durchlaufe.