Zu
offen und einer reellwertigen Funktion
-
interessieren wir uns wie schon bei einem eindimensionalen Definitionsbereich für die Extrema, also Maxima und Minima, der Funktion, und inwiefern man dies anhand der Ableitungen
(falls diese existieren)
erkennen kann. Wenn eine solche Funktion total differenzierbar ist, so ist das totale Differential in einem Punkt eine lineare Abbildung von
nach
.
Für solche linearen Abbildungen gibt es einen eigenen Namen.
Das totale Differential
zu
ist also eine Linearform.
Wenn
ist, so bilden die partiellen Ableitungen in einem Punkt
eine Matrix mit einer einzigen Zeile, nämlich
-
die bei stetigen partiellen Ableitungen das totale Differential repräsentiert. Eine solche Matrix kann man aber ebenso gut als ein
-Tupel in
und damit als einen Vektor über
auffassen. Dieser Zusammenhang zwischen Vektoren und Linearformen beruht auf dem Standardskalarprodukt des
, und lässt sich konzeptioneller mit Hilfe von Bilinearformen erfassen.
Es sei
ein
Körper
und
ein
-Vektorraum. Eine Abbildung
-
heißt Bilinearform, wenn für alle
die induzierten Abbildungen
-
und für alle
die induzierten Abbildungen
-
-linear
sind.
Eine wichtige Eigenschaft von Bilinearformen, die Skalarprodukte erfüllen, wird in der nächsten Definition formuliert.
Es sei
ein
Körper
und
ein
-Vektorraum. Eine
Bilinearform
-
heißt nicht ausgeartet, wenn für alle
, die induzierten Abbildungen
-
und für alle
, die induzierten Abbildungen
-
nicht die
Nullabbildung
sind.