Untervektorraum/Q^n/Ganzzahlige Basis/Aufgabe/Lösung


Es sei eine Basis von . Jeder dieser Basisvektoren hat die Form

mit rationalen Zahlen

mit ganzen Zahlen und . Es sei

Dann besitzt

ganzzahlige Einträge. Wir ersetzen nun jeden Basisvektor durch ein solches Vielfaches , deren Einträge ganzzahlig sind. Da man aus dieser neuen Familie die ursprüngliche Basis durch skalare Multiplikation zurückgewinnen kann, liegt ein Erzeugendensystem von vor, und da die Anzahl gleich der Dimension ist, handelt es sich um eine Basis.