Der Unterraum
ist ebenfalls endlichdimensional. Es sei
eine Basis von
, die wir durch
zu einer Basis von
ergänzen können. Es sei
. Wir betrachten die lineare Abbildung
-
die durch
-
und
-
festgelegt ist
(dabei sei
der
-te Standardvektor des
), was nach dem
Basisfestlegungssatz
möglich ist. Wegen
-
![{\displaystyle {}\varphi {\left(\sum _{j=1}^{n}t_{j}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}t_{j}\varphi {\left(v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}t_{j}e_{j}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b3d9c9780cfca10b8cbb8917509b98fd348d356)
ist die Abbildung surjektiv. Offenbar ist
. Es sei
-
Dann ist
-
![{\displaystyle {}0=\varphi (v)=\sum _{j=1}^{n}t_{j}e_{j}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a541e51499daa52ba472872bb952f1faa973a3)
Da die Standardbasis vorliegt, sind die
![{\displaystyle {}t_{j}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/913ff0595c80aa9b68c7a89b06b3ade13a130b49)
und daher ist
![{\displaystyle {}v\in U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb54c27cc39cc4bfeb3298bd5994dbaf62da8bac)
. Also ist
![{\displaystyle {}U=\operatorname {kern} \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7e3f23cbe5125ad3ac6d98213f9bab54dc1285c)
.