Vektorraum über C/R-linear/C-linear und C-antilinear/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen

und

wobei hier jeweils als Multiplikation mit zu verstehen ist. Offenbar ist , die -Linearität der beiden Abbildungen ist ebenfalls klar. Die Linearität bzw. Antilinearität ist nur noch für die skalare Multiplikation mit nachzuweisen. Es ist einerseits

und andererseits


Zum Nachweis der Eindeutigkeit sei . Dann ist

sowohl -linear als auch -antilinear, also nach Aufgabe die Nullabbildung.