Nach
dem chinesischen Restsatz für Zahlbereiche
ist
-
![{\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}=R/{\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times R/{\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d069a338fdfa4fd90ffebcc1951161d9c693bfe)
und somit ist
-
![{\displaystyle {}N({\mathfrak {a}})=N({\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}})\cdots N({\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}})\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ae9d1ee90a46232ea677a217a8f2c696f903e1)
Es ist also nur noch die Aussage für eine Primidealpotenz
zu zeigen. Dies geschieht durch Induktion über
, wobei der Induktionsanfang klar ist. Es liegt wegen
eine
kurze exakte Sequenz
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vor. Dabei ist
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {p}}^{r}/{\mathfrak {p}}^{r+1}={\mathfrak {p}}^{r}R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}^{r+1}R_{\mathfrak {p}}=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=R/{\mathfrak {p}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11f2d53edcd5e08fe0d13a68cf1dbfffa00df601)
Deshalb ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}N({\mathfrak {p}}^{r+1})&={\#\left(R/{\mathfrak {p}}^{r+1}\right)}\\&={\#\left({\mathfrak {p}}^{r}/{\mathfrak {p}}^{r+1}\right)}\cdot {\#\left(R/{\mathfrak {p}}^{r}\right)}\\&={\#\left(R/{\mathfrak {p}}\right)}\cdot {\#\left(R/{\mathfrak {p}}^{r}\right)}\\&=N({\mathfrak {p}})\cdot N({\mathfrak {p}})^{r}\\&=N({\mathfrak {p}})^{r+1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa948e7da05d5997e97a950066a13741b35692b)