Zahlbereichserweiterung

Einleitung

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Zielsetzung

Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, in das grundlegende Vorgehen einzuführen bei der Erweiterung von Zahlbereichen.

Zahlbereichserweiterung und Lösbarkeit

In dieser Lernressource wird zunächst die Unlösbarkeit von Gleichungen in einem gegebenen Zahlbereich betrachtet. Aus Unlösbarkeit der Gleichung in dem jeweiligen Zahlbereich ergibt sich die Motivation, den Zahlbereich so zu erweitern, dass die betreffende Gleichung in dem erweiterten Zahlbereich lösbar wird.

Von den natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen

Die folgende Gleichung kann in der Primarstufe formuliert werden. Diese kann $\mathbb {N}$ formuliert werden kann, die aber in $\mathbb {N}$ nicht lösbar ist.

$5+\Box =3{\mbox{ bzw. }}5+x=3$

Lösbar in dem Zahlbereich $\mathbb {Z}$ mit Lösung $-2\in \mathbb {Z}$.

Bemerkung der Unlösbarkeit von Gleichung

In der Grunndschule wird der Zahlbereich noch nicht erweitert. Allerdings ergibt aus dem Vergleich der folgenden Aufgaben die Motivation für die Begründung, warum man für eine Gleichung eine Zahl 2 findet, die die Gleichung löst und warum die andere Gleichung unlösbar in $\mathbb {N}$ bleibt.

• $3+\Box =5$
• $5+\Box =3$

Von den ganzen Zahlen zu den rationalen Zahlen

Gleichung, die $\mathbb {Z}$ formuliert werden kann, die aber in $\mathbb {Z}$ nicht lösbar ist.

$3\cdot x=5$

Lösbar in dem Zahlbereich $\mathbb {Q}$ mit Lösung ${\frac {5}{3}}\in \mathbb {Q}$ (siehe auch Didaktik der Bruchrechnung)

Von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen

Gleichung, die $\mathbb {Q}$ formuliert werden kann, die aber in $\mathbb {Q}$ nicht lösbar ist.

$x^{2}=2$

Lösbar in dem Zahlbereich $\mathbb {R}$ mit den beiden Lösungen $+{\sqrt {2}},.{\sqrt {2}}\in \mathbb {R}$ (siehe auch Didaktik der Analysis).

Beweisaufgabe - Wurzel 2 irrational

Zeigen Sie über einen Beweis durch Widerspruch, dass sich ${\sqrt {2}}$ nicht als Bruch ${\frac {a}{b}}$ mit $a,b\in \mathbb {N}$ und $ggT(a,b)=1$ darstellen lässt.

Von den reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen

Gleichung, die $\mathbb {R}$ formuliert werden kann, die aber in $\mathbb {R}$ nicht lösbar ist.

$x^{2}=-4$

Lösbar in dem Zahlbereich $\mathbb {C}$ mit Lösung $-2i,+2i\in \mathbb {C}$.

Aufgaben für Studierende

• Untersuchen Sie den Zahlbereich der Quaternionen. Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es bei der Erweiterung der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ auf die komplexe Zahlen $\mathbb {}$ im Vergleich zu der Erweiterung
• Welcher geometrische Zusammenhang besteht zwischen den Quaternionen und einer rechnerisch eleganten Beschreibung des dreidimensionalen euklidischen Raumes.

Übersicht Zahlbereiche

Übersicht Zahlbereiche

Siehe auch

• Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien
• Wiki2Reveal
• Euklidischer Raume

Seiteninformation

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