Wegen
-
![{\displaystyle {}v-v=0\in U\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e4048db84aa91f10691fd7336a1c2c9b94ae251)
ist
,
die Relation ist also reflexiv. Es sei nun
.
Dies bedeutet
-
![{\displaystyle {}v-u\in U\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c821c9ef81ff905cfa1d8c11f85b126164b2313d)
Somit ist auch
-
![{\displaystyle {}u-v=-(v-u)\in U\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d81bcde9aba4cecde5147d0860367b5c8b31c42)
und damit ist auch
,
was die Symmetrie bedeutet. Es sei schließlich
und
.
Dies bedeutet
-
![{\displaystyle {}u-v\in U\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60a4e55c10aa3786f1b1c1fe135cabb790d7a9d)
und
-
![{\displaystyle {}v-w\in U\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c01237a03b38a599b83ba159c5e71140bd9481)
Wegen der Abgeschlossenheit eines Untervektorraumes unter Addition gilt somit
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![{\displaystyle {}(u-v)+(v-w)=u-w\in U\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f8e9fdebb05ccc18659c74b42016ffe880bed4)
was
bedeutet. Dies ergibt die Transitivität.